Projet d'activité math&tice

Niveau : Cinquième, Troisième

Objectif :

Conjecturer.

Cadre d’utilisation :

Dans un premier temps les élèves construisent la figure sur papier à la maison.

Une synthèse est faite en classe.

L’utilisation du vidéoprojecteur permet de renforcer la conjecture, puis de faire apparaître les éléments utiles pour la démonstration. .

Problème :

1. Construire un triangle ABC équilatéral tel que BA = 6 cm.

2. Placer un point M quelconque à l’intérieur du triangle BAC.

3. Construire le point H sur [BA] tel que (MH) soit perpendiculaire à [AB]. Tracer [MH].

4. Construire le point L sur [CA] tel que (ML) soit perpendiculaire à [AC]. Tracer [ML].

5. Construire le point K sur [CB] tel que (MK) soit perpendiculaire à [CB]. Tracer [MK].

6. Mesurer les longueurs MH, MK et ML et calculer T = MH + MK + ML.

Travail en classe :

• Échange et comparaison des valeurs de T.

• Observation de la figure animée sur Geoplan.

• Affichage des distances et de la valeur de T (touche D).

Démonstration en classe de 5^e

Faire apparaître les triangles MBA, MCA et MBC (touche T).

1. Que peut-on dire de la somme des aires des trois triangles ?

2. Écrire l'aire du triangle MBA en fonction de MH. (touche 1)

3. Faire de même pour l'aire de MCA en fonction de MK (touche 2),puis pour l’aire de MBC en fonction de ML (touche 3).

4. À quoi est égale la somme de ces trois aires ?

5. Expliquer alors pourquoi T ne varie pas.

Prolongement en classe de 3^e

On appelle a la longueur du côté du triangle équilatéral ABC. Le but est de trouver la relation entre T et a.

1. On appelle I le pied de la hauteur du triangle ABC issue de C.

Montrer que CI = a rac(3) / 2.

2. Exprimer l'aire du triangle ABC en fonction de a.

3. En utilisant les questions précédentes montrer que T = a rac(3) / 2.

Fichiers disponibles :

• Fichier Geoplan compressé (zip, 2 Ko)