Projet d'activité

Niveau : Troisième

Objectif :

Conjecturer.

Utiliser plusiurs méthodes de démonstration.

Prérequis

TICE (professeur) : Utilisation d'un tableur + Geoplan

Cadre d’utilisation :

Travail papier préparatoire à la maison.

Mise en commun en classe, puis recherche de la conjecture au vidéo projecteur.

Démonstration du résultat conjecturé (trois pistes proposées).

Travail à effectuer à la maison :

1. Construire un carré ABCD de côté 10 cm. Placer un point R sur le segment [AB]. Mesurer la longueur AR. Construire trois points S, T et U appartenant respectivement à [AD], [DC] et [CB] tels que : DS = CT = BU = AR. Tracer le quadrilatère RSTU.

2. Démontrer que RSTU est un carré.

3. Mesurer la longueur RS et en déduire l'aire du carré RSTU.

Travail en classe :

1) Comparaison des résultats :

A l’aide d’un tableur saisir les résultats des élèves dans une feuille de calcul (AR, RS et aire du carré RSTU) et utiliser le tri de données pour faire apparaître les variations. En particulier on peut se poser la question du minimum et du maximum de cette aire.

2) A l’aide de Geoplan visualiser les variations de l’aire de RSTU en fonction de AR : d’abord sur la figure (fichier carre1.g2w) puis en traçant la représentation graphique de la fonction (fichier carre2.g2w : les deux fichiers sont ouverts simultanément et placés en mosaïque verticale, le déplacement du point R dans le fichier carre1.g2w permet d’observer le tracé de la fonction dans le fichier carre2.g2w). Cela permet de conjecturer une position du point R pour laquelle l’aire du carré RSTU est minimale.

3) Plusieurs démonstrations sont envisageables selon les propositions des élèves :

(a) Par la géométrie, en utilisant la distance minimale d’un point à une droite.

On appelle O le centre du carré RSTU.

- Démontrer que l’aire de RSTU est égale à 2 OR².

- En déduire que cette aire est minimale lorsque la longueur OR est minimale et donc la position du point R.

(b) Par la géométrie, en admettant qu’un rectangle de périmètre donné a une aire maximale lorsque c’est un carré.

- Exprimer l’aire du carré RSTU à l’aide d’une différence de deux aires

- En déduire que cette aire est minimale lorsque l’aire des quatre triangles rectangles est maximale, et donc la position du point R.

(c) Par l’algèbre.

On appelle x la longueur AR.

- Exprimer RS puis l'aire du carré RSTU en fonction de x.

- Soit A = 2(x-5)² + 50. Montrer que l’expression A est égale à l'aire du carré RSTU.

- Quelle valeur de x doit-on choisir pour que A soit le plus petit possible ?

Fichiers disponibles :

• Fichiers Geoplan compressés (carre1.g2w et carre2.g2w) (zip, 2 Ko)