Pythagore, Thalès, nos attentes ?

Pythagore, Thalès, nos attentes ?

UNREAD_POSTde referentmath01 » 15 Nov 2011, 19:09

Voici une question que l'équipe de référents math a reçue récemment par mail, suivie de la réponse que nous y avons apportée. N'hésitez pas à réagir et à poursuivre la discussion.

"Je viens vers vous car, au sein de l'équipe pédagogique, nous nous posons beaucoup de questions sur la façon de présenter ses leçons.
En effet, d'après le programme officiel, il ne faut plus distinguer le théorème de Pythagore de sa réciproque. Mais faut-il néanmoins continuer à utiliser l'expression "théorème de Pythagore" ? ou faut-il uniquement parler d'"égalité de Pythagore" caractérisant le triangle rectangle.
Ce qui nous pose problème, c'est comment le faire utiliser aux élèves ? En est-il de même pour Thalès ? Doit-on parler de théorème, de réciproque ? (apparemment oui, d'après les programmes) Comment faire pour que les élèves utilisent la contraposée puisque cela n'apparaît nulle part ?
Pouvons-nous le présenter ainsi pour Pythagore et Thalès ou y a-t-il une maladresse ?
Pour calculer une longueur : d'après l'égalité de ... (Pythagore ou Thalès) ou faut-il parler de théorème ?
Pour démontrer qu'un triangle est rectangle ou 2 droites sont parallèles : l'égalité de ... (Pythagore ou Thalès) est vérifiée donc ... ou faut-il parler de réciproque ?
Pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle ou deux droites ne sont pas parallèles : l'égalité de ... (Pythagore ou Thalès) n'est pas vérifiée donc ... ou faut-il parler de contraposée ? de raisonnement par l'absurde ? ou juste du théorème ?
Finalement, est-il vraiment même indispensable que l'élève mentionne dans sa rédaction les noms "Pythagore" et "Thalès" ? "




Pour commencer, il nous semble toujours opportun de demander aux élèves de mentionner les noms de Pythagore et de Thalès. Après, entre ce que nous demandons et ce que nous obtenons, il y a un pas, ce n'est pas là une exigence prioritaire.

Concernant d'abord le théorème de Pythagore :

Une écriture possible (ce n'est pas la seule) dans le cours pourrait être :

" Théorème de Pythagore :

On se place dans un triangle ABC. [AC] étant le plus grand côté.

Si le triangle est rectangle en B alors on a l'égalité : AC² = AB² + BC²

Réciproquement :

Si on a l'égalité AC² = AB² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en B.

Remarque : L'égalité AC² = AB² + BC² est appelée l'égalité de Pythagore. "

Cette proposition suppose que les deux sens soient vus avant la trace écrite du cours, ce qui ne nous semble pas poser de problème. ( par exemple : jour 1/2 : on établit l'égalité pour un triangle rectangle, on manipule pour calculer des longueurs sur des exemples, pas de trace écrite. Jour 2/3, on étudie, à l'aide d'une figure géogébra par exemple, cette égalité comme une caractérisation des triangles rectangles) C'est seulement à ce moment qu'on propose la trace écrite dans le cours. Ceci n'est qu'une proposition, votre liberté pédagogique est totale.

Le cas où l'égalité n'est pas vérifiée est vue comme une négation de la première phrase, sans parler de contraposée ni de raisonnement par l'absurde. On peut utiliser une phrase du type : "si j'habite à Londres, alors j'habite en angleterre. " Ecrire les négations et négation de la réciproque etc .... Mais vous en avez surement une qui fonctionne très bien également.

Comment le faire utiliser aux élèves ?
Précisons que les exigences diffèrent en fonction de la nature de l'exercice : exercice technique de simple restitution, permettant à l'élève de maitriser l'outil ou tâche complexe dans laquelle l'utilisation du théorème de Pythagore n'est qu'un outil parmi d'autres pour résoudre un problème, (souvent réalisé à distance du chapitre. ). Une utilisation même malhabile du Théorème vaut mieux que pas d'utilisation du tout et devra être valorisée. Cette remarque étant faite, il convient en classe, d'utiliser correctement le théorème. Nous vous proposons :
1er cas (sens direct)
Le triangle LMN étant rectangle en M, l'égalité de Pythagore est vérifiée : (ou : "on peut appliquer le théorème de Pythagore")
LN²=MN²+LM² etc...

2 et 3 ème cas (qui sont pour nous professeurs, la réciproque et la contraposée)
dans le triangle IJK, le plus grand côté étant [JK],
je calcule JK² = ....
IK²+IJ²=.........
je constate que JK²=IK²+IJ², l'égalité de pythagore étant vérifiée, le triangle est rectangle en I.
ou je constate JK² different IK²+IJ², l'égalité de pythagore n'étant pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle.

On peut aussi envisager une rédaction comme suit :
dans le triangle IJK, le plus grand côté étant [JK],
Je regarde si JK²=IK²+IJ². (Suivent les calculs, par exemple avec 3,4 et 5)
5²=3²+4²
25=25. C'est exact, l'égalité de pythagore est vérifiée donc le triangle est rectangle en I.
Ou (cas de non égalité, 7,5,4 par exmple)
Je regarde si JK²=IK²+IJ². (Suivent les calculs)
7²=5²+4²
49=41. C'est inexact, l'égalité de pythagore n'est pas vérifiée donc le triangle n'est pas rectangle

Cette rédaction a longtemps été bannie de nos cours, mais avec les indications en gras , elle nous parait tout aussi rigoureuse que la précédente.
Ces indications en gras devront donc être demandées aux élèves mais peu (ou pas) sanctionnées si ils les oublient car considérés comme une simple maladresse de rédaction mais pas du tout de raisonnement.

Pour aller plus loin dans la réflexion :

Une autre rédaction tout aussi acceptable serait : (cas de la réciproque)
D'après le Théorème de Pythagore :
Le triangle IJK est rectangle en I
si et seulement si JK²=IK²+IJ²
si et seulement si JK² = 3²+4²
si et seulement si JK²=25
si et seulement si JK = 5.
Comme JK = 5 , alors le triangle est bien rectangle en I

Evidemment, cette rédaction n'est pas du niveau d'un élève de collège qui ne maitrise pas les équivalences.

Alors, cela devient pour lui :
Dans le triangle IJK, d'après le théorème de Pythagore
JK²=IK²+IJ²
JK² = 3²+4²
JK²=25
JK = 5.
Comme JK = 5 , alors le triangle est bien rectangle en I

Est-ce choquant ? cet élève fait-il une grosse erreur de raisonnement ou bien est -il juste gêné par le fait de ne pas disposer de l'outil d'équivalence ? Sachant que les programmes nous demandent de considérer le théorème comme caractéristique du triangle rectangle.
Sans équivalence, nous ne proposons pas cette rédaction en classe mais faut-il la sanctionner lourdement lorsqu'elle est vue dans les copies (surtout lorsque le chapitre est fini depuis des mois) ? La question est posée.

Concernant le théorème de Thalès :
aujourd'hui, les programmes n'ont pas changé. D'autant plus que le théorème fait intervenir 3 rapports quand la réciproque n'en nécessite que 2.
Donc on distingue le théorème de sa réciproque. On montre également que l'ordre des points a son importance mais sans se focaliser dessus dans les copies. Ici non plus, nous ne parlons pas de contraposée ou de raisonnement par l'absurde. Nous mettons en évidence qu'il s'agit de la négation du théorème direct, en précisant à chaque fois : les quotients AM/AB et AN/AC ne sont pas égaux. Si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles, les quotients seraient égaux d'après le th de Thalès, , ce n'est pas le cas donc les droites ne sont pas parallèles. Là encore, il y a un pas entre le "modèle" du cours et le seuil de tolérance dans les copies.
Là encore les exigences ne sont pas les mêmes dans des exercices d'application juste après le chapitre et dans les exercices de résolution de problème (ou tache complexe) qui peuvent être faits des mois après. Dans ces derniers, une référence à Thalès et un calcul juste doivent être largement valorisée.
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