CR Atelier C - Raisonnement au collège |
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Journées inter-académiques - Bordeaux, 13 et
14 décembre 2004 |
Cette contribution est dominée par deux questions récurrentes posées par les collègues :
- Comment débuter l'initiation au raisonnement et comment la conduire?
- Quelles formes doit prendre la rédaction?
I - Introduction
Cet atelier permet de présenter et de commenter la brochure "Initiation au raisonnement" composée par l'équipe académique après l'animation de plusieurs stages PAF sur ce thème.
Cette brochure est composée de deux parties :
Première partie :
Pour une initiation progressive au raisonnement déductif en géométrie au collège.
Deuxième partie :
Les différents types de raisonnement au collège à travers les programmes.
La deuxième partie s'appuie sur la quatrième partie ("au terme du collège") du document d'accompagnement de 3e qui précise dans son premier paragraphe "formation générale" :
"Les élèves ont rencontré et ont eu l'occasion d'élaborer, au cours de démonstrations, différents types de raisonnements : raisonnement déductif, raisonnement par disjonction de cas, infirmation par mise en évidence d'un contre-exemple, approche du raisonnement par l'absurde".
Il nous a paru intéressant de faire le point sur ces raisonnements à travers les classes du collège et fournir des exemples rencontrés.
Le but de la contribution présente est la présentation de la première partie, sa genèse et ses intentions.
II - Genèse de cette contribution
Au cours de la présentation des nouveaux programmes de collège, sollicités par de nombreux collègues pour faire le point sur la "rédaction de démonstrations en géométrie en 4e", nous avons proposé l'activité suivante :
- Un exercice est donné ainsi que trois rédactions différentes (toutes exactes) de la solution.
- Les collègues doivent proposer une note de 0 à 5 pour chaque rédaction.
Les notes proposées ont été extrêmement variées, pour s'échelonner effectivement de 0 à 5. La question inévitablement posée - "qu'est-ce qu'on évalue ?" - présente des réponses bien distinctes :
- La rédaction fournie par l'élève à partir d'une rédaction type.
- La compréhension de l'élève.
- Les deux à la fois.
Nous avons choisi de mettre en place des arguments permettant de montrer que la rédaction peut être considérée comme l'étape ultime d'un processus qui doit privilégier avant tout l'activité mathématique. Il nous semble que celle-ci n'est pas suffisamment valorisée dans les évaluations de nombre de collègues et qu'en conséquence, les élèves essayent d'imiter un modèle qui rapporte des points.
Après cette expérience et en réponse à la question des collègues : "comment aborde-t-on le raisonnement au collège?", il nous a paru utile de présenter une progression permettant de mettre en place le raisonnement en repoussant la rédaction dans une phase finale.
La brochure propose donc un tel type de travail (à mettre en place progressivement entre la 6e et la fin de la 4e).
Plusieurs documents ont guidé notre recherche :
- DUVAL et EGRET :
Annales de didactique et de sciences cognitives vol2 1989 - IREM de Strasbourg.
- Brochure de janvier 1996 éditée par l'Académie d'Orléans-Tours.
Une expérimentation dans nos classes a permis de tester le dispositif retenu et une batterie d'exercices complète la brochure.
III - Mise en garde et intentions
L'initiation au raisonnement ne se fait pas qu'en géométrie. L'algèbre et l'arithmétique présentent des situations nombreuses favorisant cette initiation. Par exemple, démontrer que la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire donne du sens aux techniques algébriques, prépare la notion de variable et participe à l'initiation au raisonnement : on conjecture, puis on démontre..
De nombreuses dimensions ne sont pas intégrées dans ce travail : intuition, affectivité, capacité de compréhension.
L'aspect "recherche" n'est pas valorisé dans cette étude, même si elle est une dimension essentielle du raisonnement. Notons que cet aspect ne peut véritablement être pris en compte qu'à partir d'un certain niveau de compréhension. En effet il est deux interrogations fréquentes chez les élèves : pourquoi chercher? comment chercher? Ces questions sont en fait tout à fait complémentaires de notre travail.
Notre objectif est donc de mettre en place une progression qui se croise avec la progression habituelle des contenus et proposer aux élèves des exercices bien ciblés.
IV - Présentation de la brochure
a) Introduction
Elle débute par un exemple de problème avec des réponses d'élèves.
Deux questions sont suggérées concernant ces réponses :
- Ŕ quel niveau de compréhension se trouve chacun d'eux?
- Comment remédier à leurs difficultés repérées?
La stratégie mise en place s'appuie sur la structure du raisonnement :
(énoncé donné ou précédemment démontré) 
(règle de substitution : théorème ou propriété) ( nouvel énoncé)
Remarques
1) Le nombre de conditions de départ à prendre en compte varie.
2) Du point de vue rédactionnel, on aura parfois l'impression d'une structure binaire, la règle de substitution n'étant pas formulée.
b) Stratégie conduisant à une progression (en 4e par exemple).
Compte tenu des remarques formulées sur les limites de la brochure (voir "introduction" de la brochure, page sans numérotation) et prenant en compte les acquis de 6e et de 5e (selon les remarques formulées en page 3) notre progression s'articule selon plusieurs étapes que nous allons expliciter.
Étape 1 : Faire admettre par les élèves la nécessité de démontrer.
Plusieurs freins sont identifiés afin de franchir cette étape, par exemple :
- Le statut de la figure doit être nettement clarifié. Les élèves doivent prendre conscience de la distinction entre conjecture et démonstration. Ce qui se voit sur la figure n'a pas toujours été formellement démontré.
- La confusion précédente a été souvent entretenue par l'enseignement lui-même; en effet, on utilise souvent en 6e l'équerre pour justifier qu'un angle est droit, ou bien on mesure des segments pour justifier qu'un triangle est isocèle. C'est encore plus flagrant à l'école primaire oů les élèves n'ont pas d'autres manières de reconnaître une figure particulière.
- Le vocabulaire de base est souvent imprécis ou incompris (les mots polysémiques présentent une difficulté très importante).
- Les conditions d'une véritable recherche ne sont pas encore réunies car les élèves ne comprennent pas pourquoi il faut chercher ni comment il faut chercher.
- De nombreuses choses implicites ne sont pas intégrées par les élèves (alignement de points, prolongement d'une droite.).
Les tentatives de remédiation pourront s'appuyer sur un travail autour du statut de la figure et du vocabulaire de base (de nombreux exercices sont proposés en annexe de la brochure).
Étape 2 : Travailler sur les informations.
(Bien sűr entre relever, trier, analyser les informations il existe des différences considérables)
Plusieurs stades sont à considérer par rapport à la prise en compte des informations :
- repérage d'informations isolées (droites perpendiculaires, droites parallèles.).
- organisation d'informations successives (par exemple pour construire un triangle rectangle dont on connaît les longueurs des côtés de l'angle droit)
- utilisation d'informations simultanées (par exemple pour construire un triangle rectangle dont on connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit).
Les tentatives de remédiation pour franchir cette étape peuvent s'articuler autour d'exercices de passage d'un registre "texte" ou "figure" à un registre "texte" ou "figure" (figures téléphonées, construire une figure en vraie grandeur, produire un texte de construction.). De nombreux exercices sont proposés en annexe de la brochure.
Étape 3 : Trouver toutes les conditions qu'il est nécessaire
de prendre en compte
pour appliquer une règle de substitution.
La nécessité de cette étape se justifie par le fait que pour appliquer une règle de substitution, le nombre de données n'est pas toujours le même.
De plus, les données proposées ne sont pas forcément celles qui permettent de faire fonctionner la règle. Par exemple pour le théorème de Pythagore, la seule donnée à prendre en compte est : "le triangle est rectangle". Le fait de connaître la longueur d'un ou de deux côtés n'a pas d'incidence sur le fait que l'on puisse appliquer ou non le théorème.
Les tentatives de remédiation sont explicitées en annexe dans la brochure (dans le cahier de cours, différencier sur les figures les données et les conclusions des théorèmes, dans les exercices, repérer les données des théorèmes à l'aide du codage des figures).
Étape 4 : Comprendre la structure ternaire d'un îlot déductif.
Faire fonctionner un théorème.
Cette étape n'est pas franchie lorsque l'élève invoque des théorèmes qui ne fonctionnent pas comme règle de substitution. Ceux-ci ne sont reliés ni aux données, ni à la conclusion.
Les élèves qui n'ont pas franchi cette étape, produisent des textes linéaires qui reflètent l'ordre de surface, mais pas la structure profonde de la démonstration.
C'est à ce niveau que la rédaction peut s'organiser sous la forme "on sait que", "or", "donc".
Les tentatives de remédiation peuvent s'organiser autour de la recherche, dans un environnement complexe, de figures-clés, dans lesquelles apparaissent les données et les conclusions des théorèmes.
Étape 5 : Comprendre que le statut des énoncés est indépendant de leur contenu.
Cette étape permettra de comprendre que les énoncés peuvent être des données ou des conclusions.
La remédiation peut s'organiser autour du travail sur les théorèmes et leurs réciproques.
A partir de ce niveau, l'élève peut entrevoir l'existence de plusieurs pas de démonstration. En effet, certains peuvent penser que l'utilisation d'un seul théorème peut conduire systématiquement au résultat demandé.
Étape 6 : Faire fonctionner plusieurs îlots déductifs successifs.
A partir de ce niveau les élèves peuvent envisager un travail systématique de recherche car il savent pourquoi ils cherchent et comment il faut chercher.
Les élèves ayant encore des difficultés pour rédiger peuvent passer par l'intermédiaire d'un déductogramme.
Étape 7 : La rédaction.
C'est l'étape ultime de cette progression. L'activité mathématique ayant été comprise, on peut alors travailler la rédaction. Cela devient un travail dont la maîtrise de la langue est un élément important.
Plusieurs types de rédactions acceptables peuvent être présentés.
Lors de l'Atelier, a été soulevée l'idée de fournir aux élèves une liste de théorèmes repérés par des codes qui simplifierait la lourdeur de rédaction ( synonyme de lassitude chez nos collégiens ). Le risque serait peut-être une perte de sens et résoudre un exercice se limiterait alors à un choix dans une liste.
Bien sűr, avant d'avoir franchi toutes ces étapes, les élèves auront déjà produit des rédactions plus ou moins parfaites. Ce sont celles-ci qui vont nous renseigner sur leur niveau de compréhension.
Reste la question posée au début de cette contribution : la rédaction doit-elle être un objet d'évaluation ou bien un outil d'évaluation de l'activité mathématique?
V - Mise en ouvre
Ŕ l'aide de copies d'élèves, on peut rechercher, à travers leur rédaction, le niveau de compréhension de chacun, afin de leur proposer des exercices ciblés (présentés en annexe de la brochure) visant à remédier à leurs difficultés. Il est apparu à tous que cette recherche est un travail très délicat. La rédaction et l'activité intellectuelle des élèves sont intimement mêlées.