CR Atelier E - Expérimentation et démonstration

Journées inter-académiques - Bordeaux, 13 et 14 décembre 2004 Les nouveaux programmes de collège et la liaison avec les programmes de l'école primaire Animation : Josette Lafargue Académie de Nantes

Le point de départ des réflexions conduites dans cet atelier a été les énoncés des « activités préparatoires » qui figurent sur le document de travail joint en annexe (PDF, 54 Ko)

L'idée a été d'imaginer une situation de classe où l'un de ces énoncés serait distribué aux élèves pour une recherche individuelle entrecoupée de mises au point collectives et de recenser les inconvénients de cette manière de procéder.

1.Dérives possibles lors de l'utilisation par les élèves d'énoncés
d'activités préparatoires du type de ceux fournis en annexe.

  Pendant la phase d'expérimentation, il arrive que les élèves effectuent des mesures ou essais qui leur sont demandés sans savoir dans quel but ils effectuent ces mesures ou essais.

Ceci est fréquent lorsque les élèves travaillent à partir d'une activité de leur manuel ou d'une fiche qui leur est distribuée sans qu'un problème ait d'abord été posé par le professeur.

  À l'issue d'une phase d'expérimentation (mesures sur une figure, essais avec des nombres), lorsqu'une conjecture est formulée, le plus souvent à la forme affirmative, les élèves peuvent considérer qu'elle est validée par le professeur.

Il est prévu que chaque élève formule sa propre conjecture, mais une mise au point collective aboutit le plus souvent à retenir une conjecture qui devient celle de la classe et qui est validée par le professeur. Bien que la plupart des professeurs incluent dans la formulation de cette conjecture la locution « il semble que », elle prend une valeur de vérité établie pour la grande majorité des élèves. Les élèves, même s'ils veulent bien admettre qu'en mathématiques il faut une démonstration, ne sont alors pas convaincus de l'intérêt de la démonstration qui suit généralement.

  Lorsque les élèves travaillent à partir d'un document écrit (manuel ou fiche distribuée), la démonstration de « la propriété conjecturée » est le plus souvent guidée à l'aide de questions intermédiaires.

Ces questions ne se distinguent pas toujours nettement de celles de la phase d'expérimentation, aussi les élèves ne voient-ils pas bien que l'on a quitté l'expérimentation pour une démonstration (parfois même la même figure est utilisée pour effectuer des mesures lors de l'expérimentation puis ensuite pour servir d'appui à la démonstration).

Beaucoup répondent successivement aux différentes questions sans percevoir le fil conducteur et peuvent perdre de vue l'objectif final : ils résolvent plusieurs exercices élémentaires, mais ne travaillent pas sur la recherche d'une stratégie de démonstration.

2. Propositions

  Habituer les élèves à prendre en compte le degré de précision des instruments de mesure.

Cela ne présente pas de difficultés car les élèves en ont l'habitude dans la vie courante et dans les autres disciplines (le double décimètre permet de mesurer au mm près, le rapporteur au degré près, .).

Cela permet d'éviter que les élèves soient perturbés par exemple par le fait que s'ils construisent soigneusement un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l'angle droit mesurent 5cm et mesurent son hypoténuse ils pourront trouver 7cm, alors qu'ils devront dire que d'après le théorème de Pythagore un triangle dont les côtés mesurent 5, 5 et 7 n'est pas rectangle.

  Distinguer deux catégories de figures : la figure (ou le dessin) que l'on réalise pour effectuer des mesures, la figure qui est un schéma pour aider à la recherche d'une démonstration (figure à main levée codée par exemple).

Par exemple :

i.  l'énoncé 1 fourni en annexe conduit à la réalisation d'un dessin et la réponse attendue d'un élève est « sur mon dessin, le triangle AOB est équilatéral car lorsque je mesure je trouve la même longueur pour les trois côtés » ou « sur mon dessin, le triangle AOB n'est pas équilatéral car lorsque je mesure je ne trouve pas la même longueur pour les trois côtés »,

ii.  l'énoncé 2 fourni en annexe conduit à la réalisation d'une figure codée (qui peut être à main levée) et la question posée est en réalité « quel que soit le cercle (C) et quel que soit le point A appartenant au cercle (C), le triangle AOB est-il équilatéral ? », la réponse ne pourra être établie qu'à l'aide d'une démonstration.

Dans les activités préparatoires, en phase d'expérimentation, on construit une figure avec autant de précision que possible et les observations que l'on fait ne sont valables que pour cette figure. On peut par exemple observer que lorsqu'on construit un triangle dont les côtés mesurent 4cm, 8cm et 7cm et que l'on place les milieux de deux des côtés, le segment qui les joint est parallèle au troisième côté (compte tenu de la précision des mesures) ; mais cela n'est valable que pour ce triangle là et à la précision des mesures près.

En phase de démonstration, on réalise un schéma pour visualiser les données et les propriétés que l'on en déduit peu à peu. Par exemple si l'on trace un triangle ABC et que l'on place I et J milieux de [AB] et [AC], le triangle dessiné schématise n'importe quel triangle ; un codage indiquera que I et J sont les milieux de [AB] et [AC] et on ne mesurera pas puisque l'on cherche une propriété qui serait valable dans n'importe quel triangle et non seulement dans le triangle dessiné.

  Faire ressortir le fait qu'une expérimentation ne peut aboutir qu'à deux types de conclusions :

-  telle réponse qui avait été envisagée est fausse

Exemple : si la question était « peut-on écrire autrement la somme des racines carrées de deux nombres ? », une rapide expérimentation prouve que la réponse « la somme des racines carrées de deux nombres quelconques est la racine carrée de leur somme » ne convient pas.

-  il est possible que la réponse soit : .... ; il est donc intéressant de reformuler la question sous la forme « est-ce que ... ? »

Exemple : si la question était « peut-on écrire autrement le produit des racines carrées de deux nombres ? », une rapide expérimentation conduit à « il n'est pas impossible que le produit des racines carrées de deux nombres soit égal à la racine carrée du produit des deux nombres » et donc il est intéressant de se poser la question « deux nombres positifs étant donnés, peut on affirmer que la racine carrée de leur produit est égale au produit de leurs racines carrées ? ».

  Expliquer aux élèves que, en mathématiques, on cherche toujours à construire un modèle et que les règles ou propriétés que l'on établit dans ce modèle doivent pouvoir s'appliquer dans n'importe quelle situation concrète qui relève de ce modèle.

Par exemple, dans le modèle du cercle, on établit que le périmètre de n'importe quel cercle est le produit de son diamètre par le nombre ∏. Grâce à l'utilisation du nombre ∏, ceci pourra s'appliquer dans toutes les situations concrètes, alors que, si l'on avait simplement établi que le périmètre d'un cercle était environ le triple de son diamètre, cela aurait été inopérant dans des situations où une plus grande précision aurait été nécessaire.

C'est aussi pourquoi on ne se contente pas de savoir que dans les cinquante triangles que l'on a construits la droite qui joignait les milieux de deux côtés était parallèle au troisième côté (à la précision près de nos tracés et de nos instruments de mesure) : on veut pouvoir dire s'il en sera de même dans n'importe quel triangle, que d'autres construiront, et quelle que soit la précision qu'ils attendront.

  Insister sur le fait qu'aucune expérimentation ne permet d'établir une propriété relative à un modèle car :

-  il est impossible d'expérimenter sur une infinité de cas,

-  quels que soient les moyens mis en ouvre, des mesures ne donnent jamais des valeurs exactes mais seulement des encadrements.

Cela devrait permettre de faire comprendre aux élèves de collège le rôle de la démonstration, et à quel moment elle devient indispensable : en mathématiques, c'est une démonstration qui permet d'établir une propriété relative à un modèle.

3. Quand et comment habituer les élèves à ce processus :
expérimentation puis démonstration ?

De manière naturelle, on a recours à l'expérimentation lorsqu'on cherche une réponse à un problème (ou à une question), mais on n'expérimente pas simplement pour respecter une consigne.

Le point de départ est idéalement une situation qui crée un problème, mais ce peut-être aussi une question ouverte posée par le professeur à l'ensemble de la classe.

Le problème, ou la question, doit être simple afin que chaque élève de la classe puisse facilement la comprendre.

Exemples :

(1) « Peut-on savoir si une allée est perpendiculaire à la façade d'une maison lorsque l'on ne dispose que d'un mètre d'arpenteur ? »

(2) « Peut-on savoir si un triangle dessiné sur une feuille est rectangle si l'on ne dispose que d'une règle graduée ? »

(3) « Lorsqu'un triangle est rectangle, y a-t-il une relation entre les longueurs de ses côtés ? »

(4) « Sur une pelouse triangulaire, peut-on tracer une allée parallèle à l'un des côtés si l'on ne dispose que d'un mètre d'arpenteur ? »

(5) « Dans un triangle, que peut-on dire de la droite qui joint les milieux de deux des côtés ? »

Poser un problème concret est plus motivant pour les élèves et est donc préférable, mais il faudra prévoir un peu de temps pour faire passer les élèves à une situation mathématique et leur faire reformuler la question en termes mathématiques (c'est à dire dans le champ des modèles mathématiques).

En revanche, un problème concret conduit souvent à plusieurs questions mathématiques.

Dans les exemples ci-dessus :

  (1) conduit à (3)  mais aussi ensuite à « lorsque cette relation est vérifiée, est-on sûr que le triangle est rectangle ? » ;

  (4) conduit à (5) mais aussi à « si dans un triangle ABC, on place un point M sur [AB] puis un point N sur [AC] tel que le rapport AN/AC soit le même que le rapport AN/AB, la droite qui joint les points M et N est-elle parallèle au côté [BC] ? ».

Il faudrait ensuite laisser les élèves réfléchir un peu à la question individuellement puis collecter les réponses qu'ils sont tentés d'y apporter spontanément.

Remarques :

-  Ces réponses spontanées, dont les élèves ne sont pas certains, sont en fait leur « conjectures » avant expérimentation.

-  Cette collecte des réponses spontanées est importante car l'expérimentation qui suivra permettra d'invalider certaines réponses qui semblaient naturelles aux élèves (exemple : la racine carrée de la somme de deux nombres est égale à la somme de leurs racines carrées).

L'étape suivante est de faire construire un protocole expérimental en ayant bien en tête que l'objectif de l'expérimentation et de voir quelles réponses sont à rejeter et quelles réponses méritent d'être étudiées. Cette démarche s'apparente tout à fait à celle qui est recommandée en sciences expérimentales.

La conclusion de l'expérimentation sera une nouvelle question dans laquelle le plus souvent interviendra une expression du type « n'importe quel » ; cette question appellera donc une démonstration que l'on cherchera en classe ou que l'on ne cherchera pas.

Exemple : « est-il vrai que dans n'importe quel triangle rectangle on trouve exactement le même résultat lorsqu'on calcule le carré de l'hypoténuse que lorsqu'on calcule la somme des carrés des côtés de l'angle droit ? ».

Il y a, avec la nécessité d'une démonstration, une différence avec la démarche que suivent les élèves en sciences expérimentales : en mathématiques, les expériences ne permettent pas d'établir la validité de règles.

Remarques :

-  Pour un élève, écouter son professeur lui expliquer clairement la démarche d'une démonstration en mettant bien en évidence le fil conducteur et les méthodes utilisées peut être plus formateur que de « faire lui-même » la démonstration en répondant pas à pas à une liste de questions sans percevoir l'enchaînement de ces questions.

-  On peut en classe de mathématiques, comme dans les autres disciplines, recourir au « savoir établi » pour énoncer des propriétés.

L'essentiel est de bien mettre en évidence l'impossibilité d'établir une propriété (relative à un modèle) sans avoir recours à une démonstration. Il semble préférable de dire à des élèves de collège « les mathématiciens ont démontré cette propriété » plutôt que « on admet une propriété ». En effet, admettre signifie « reconnaître comme vrai », et, ce qui a permis de reconnaître la propriété comme vraie pourrait rester ambigu (il ne faudrait pas que dans l'esprit des élèves ce soit l'expérimentation !).