Niveau : Quatrième à terminale S

Problème :

ABC est un triangle rectangle en A.
M est un point de l’hypoténuse [BC].
On trace par M les perpendiculaires aux côtés [AB] et [AC] qui coupent ces côtés respectivement aux points P et Q.

Où placer le point M pour que la distance PQ soit minimale ?

Fichiers disponibles :

• Fiche d'activité (pdf, 31 Ko)
• Fichier Géoplan (g2w, 1 Ko)
• Fichier GeoGebra (ggb, 2 Ko)
• Fichiers Activité + Géoplan + GeoGebra compressés (zip , 21 Ko)

Commentaire :

Proposé en 4^e, d’abord à chercher seuls.

Presque tous les élèves ont eu l’idée de réaliser plusieurs figures, avec le même triangle de départ, mais en modifiant la position de M. Des conjectures très diverses ont été proposées car beaucoup ont cherché à caractériser la position de M par sa position sur le segment [BC] (M doit être au milieu, au quart, au tiers… du segment [BC], sur la bissectrice de l’angle BAC, sur la hauteur issue de A…).

La synthèse avec Geoplan a permis de valider ou non les conjectures, puis de mettre en place la démonstration, en faisant apparaître la deuxième diagonale du rectangle APMQ.

Proposé en temps libre en terminale avec la possibilité de travailler par deux ou trois et de ne rendre qu’une copie pour le groupe.

Sur plus de la moitié des copies, une solution est proposée avec de la géométrie analytique. Dans le repère

L’équation de la droite (BC) permet d’écrire les coordonnées de M puis celles de P et Q et enfin . Il reste à étudier le minimum d’une fonction trinôme…
La synthèse des démarches était instructive…

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carre_triangle_1.ggb