Projet d'activité TICE

 

Niveau :

Première

Objectifs

Mettre en place un algorithme de dichotomie pour résoudre une équation. Analyser un algorithme donné puis le modifier progressivement afin d’obtenir les encadrements demandés. Dans un premier temps on s’intéresse à l’équation x2 = 2 que l’on sait résoudre, ce qui permet de valider l’algorithme, puis dans un deuxième temps on adapte cet algorithme à l’équation x³ = 3x + 1.

 

Prérequis :

• Utilisation des notions d’algorithmique de seconde : instructions conditionnelles, boucle Tant que.

Enoncé :

 

On souhaite déterminer un encadrement de chacune des solutions de l’équation

x³ = 3x + 1.

 

Organisation pratique :

 

Travail autonome en salle informatique ou en classe entière si on utilise la calculatrice.

 

Fichiers disponibles

 

• La fiche élève au format pdf(fichier pdf)
• Le fichier Xcas compressé (fichier zip)

 

Les fiches élèves

 

Fiche élève 1

 

Dichotomie

1)      Résoudre dans R l'équation .

 

2)      On considère l'algorithme suivant :

 

Variables : a, b, m a prend la valeur 1 b prend la valeur 2 Tant que b – a > 0,1             m prend la valeur             Si m² - 2 > 0 alors                         b prend la valeur m               Sinon                           a prend la valeur m                Fin si Fin Tant que Afficher a Afficher b

 

a)      Compléter le tableau suivant donnant les différentes étapes de l'algorithme :

 

 

b)      Que fait cet algorithme ?

 

c)      Modifier l'algorithme de manière à pouvoir choisir l'amplitude de l'encadrement obtenu.
Programmer cet algorithme à l'aide d'un logiciel ou de la calculatrice et le tester.

 

d)     On veut maintenant obtenir un encadrement de la solution négative de l'équation .
Pour cela on donne à a et b les valeurs respectives -2 et -1. L'algorithme fonctionne-t-il ?
Pourquoi ?

 

e)      Modifier la condition de l'instruction « si … alors » de manière à ce que l'algorithme donne la réponse correcte.

 

3)      a)  Conjecturer à l'aide de la calculatrice le nombre de solutions de l'équation .

b)  Modifier l'algorithme précédent de manière à obtenir un encadrement d'amplitude 10^-2 de la solution positive de cette équation, puis de chacune des solutions conjecturées.