Dichotomie


Projet d'activité créé lors d'un stage "Algorithmique"
Bordeaux, juin 2011

 

Projet d'activité TICE

 

Niveau :

Première

Objectifs

Prérequis :

Enoncé :

 

On souhaite déterminer un encadrement de chacune des solutions de l’équation

x3 = 3x + 1.

 

Organisation pratique :

 

Travail autonome en salle informatique ou en classe entière si on utilise la calculatrice.

 

Fichiers disponibles

 

 

Les fiches élèves

 

Fiche élève 1

 

Dichotomie

1)      Résoudre dans R l'équation .

 

2)      On considère l'algorithme suivant :

 

Variables : a, b, m

a prend la valeur 1

b prend la valeur 2

Tant que b a > 0,1

            m prend la valeur

            Si m² - 2 > 0 alors

                        b prend la valeur m

              Sinon

                          a prend la valeur m

               Fin si

Fin Tant que

Afficher a

Afficher b

 

a)      Compléter le tableau suivant donnant les différentes étapes de l'algorithme :

 

 

m

a

b

b - a

Initialisation

 

1

2

 

Étape 1

 

 

 

 

Étape 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)      Que fait cet algorithme ?

 

c)      Modifier l'algorithme de manière à pouvoir choisir l'amplitude de l'encadrement obtenu.
Programmer cet algorithme à l'aide d'un logiciel ou de la calculatrice et le tester.

 

d)     On veut maintenant obtenir un encadrement de la solution négative de l'équation .
Pour cela on donne à a et b les valeurs respectives
-2 et -1. L'algorithme fonctionne-t-il ?
Pourquoi ?

 

e)      Modifier la condition de l'instruction « si … alors » de manière à ce que l'algorithme donne la réponse correcte.

 

3)      a)  Conjecturer à l'aide de la calculatrice le nombre de solutions de l'équation .


b)  Modifier l'algorithme précédent de manière à obtenir un encadrement d'amplitude 10-2 de la solution positive de cette équation, puis de chacune des solutions conjecturées.