Projet d'activité TICE

 

Niveau :

Première

Objectifs

Étudier une évolution démographique; dans un premier temps il s'agit de conjecturer la solution à l'aide d'un algorithme ; ensuite, on valide la conjecture à l'aide des connaissances mathématiques sur les suites.

 

Prérequis :

• Utilisation des notions d’algorithmique et de Xcas en mode de programmation élémentaire.
• Connaissances sur les suites récurrentes et les suites géométriques (propriétés et limites).

Enoncé :

 

Dans un pays de population constante égale à 60 millions d’habitants, on compte 20 millions de citadins et 40 millions de ruraux en 2005. Les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville et on constate que les mouvements de population suivent la règle suivante : chaque année, 20% des ruraux émigrent à la ville et 10% des citadins émigrent en zone rurale.

Quelle évolution peut-on prévoir à long terme ?

 

 

Organisation pratique :

 

Travail autonome, en salle informatique pour l’algorithmique (démarré éventuellement en classe entière durant la séance précédente pour la mise en équation, afin de réserver le temps en salle info au travail algorithmique autonome de chaque élève) ; la partie validation peut être traitée en fin de séance par les élèves les plus rapides, et à la maison par les autres ou en devoir maison. La synthèse peut être faite en classe entière.

 

Fichiers disponibles

 

• La fiche élève au format pdf (27 Ko)

• Le fichier Xcas compressé (1 Ko)

 

Fiche élève

 

Dans un pays de population constante égale à 60 millions d'habitants, on compte 20 millions de citadins et 40 millions de ruraux en 2005. Les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville et on constate que les mouvements de population suivent la règle suivante : chaque année, 20% des ruraux émigrent à la ville et 10% des citadins émigrent en zone rurale.

L'objectif est de conjecturer puis valider l'évolution des deux populations au bout d'un grand nombre d'années.

 

CONJECTURES

 

1)      Calculer le nombre d'habitants dans chacune des zones en 2006, puis en 2007.

2)      On note  la population en zone rurale (en millions d'habitants) et  la population en ville (en millions d'habitants) en l'année . Exprimer  en fonction de .

3)      Écrire un algorithme permettant de calculer la population dans chaque zone après n années. Le tester pour .

4)      Conjecturer grâce à cet algorithme l'évolution de chaque population à long terme.

VALIDATION

 

1)     Démontrer que, pour tout entier naturel n, .

2)      En déduire que pour tout entier naturel n, .

3)      On pose . Démontrer que la suite  est géométrique.

4)      En déduire  puis  en fonction de n.

5)      Valider les conjectures.