Suite récurente 3 |
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Projet d'activité créé lors d'un stage "Algorithmique" |
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Première
La
suite est définie par
.
On
souhaite trouver des propriétés de cette suite en conjecturant ses valeurs avec
un algorithme puis calculer la somme des premiers termes de pour
un rang donné avec un algorithme ; enfin, on explicite mathématiquement la
suite de départ.
Travail autonome en salle informatique.
Soit la
suite définie par
et pour tout
entier naturel n,
.
Soit la
suite définie par
et pour tout
entier naturel n,
.
Partie A : Étude de la suite (un)
1. Calculer les 5 premiers termes de
la suite .
2. a) Écrire sur papier un
algorithme permettant de calculer le 1 001éme terme de la suite
. (On pourra utiliser une
boucle).
b) Traduire cet algorithme avec le logiciel Xcas.
c)
Modifier l'algorithme précédent pour pouvoir calculer pour tout n. On
l'appellera calcul_u(n).
Application
: donner la valeur de .
3. Quelle conjecture peut-on déduire
des questions précédentes sur les variations de la suite ?
La démontrer.
Quelle
conjecture peut-on déduire des questions précédentes sur la convergence de la
suite ?
4. Approfondissement : On veut
trouver le plus petit entier naturel n vérifiant .
Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème.
Partie B : Étude de la suite (sn)
1.
Calculer
.
2. Exprimer le terme à l'aide de termes de la
suite
.
3. Le but de cette question est de
calculer pour tout entier n.
En
utilisant le programme calcul_u(n), écrire un algorithme permettant de
calculer .
Application
: donner la valeur de .
Partie C : Formule explicite de un en fonction de n
Rappel
: .
Soit
la suite définie pour
tout entier n par :
.
1. Déterminer l'expression de en fonction de n.
2. Déterminer de deux manières
différentes.
3. En déduire l'expression de en fonction de n.
4. Valider les résultats de la question A-2) c).