Projet d'activité TICE
Niveau :
Première
Objectifs
- Programmer progressivement le
calcul des termes d'une suite du type
avec un algorithme. - Conjecturer des résultats sur cette suite avec l’algorithme et en valider certains mathématiquement.
- Appeler l’algorithme précédent pour en construire un deuxième calculant la somme des termes dans une session XCas.
- Expliciter mathématiquement la suite de départ.
Prérequis :
- Suites, suites arithmétiques.
- Savoir utiliser le logiciel Xcas.
- Connaître les fonctions de base de l'algorithme (boucle, tant que).
Enoncé :
La
suite 
est définie par 
.
On
souhaite trouver des propriétés de cette suite en conjecturant ses valeurs avec
un algorithme puis calculer la somme des premiers termes de pour
un rang donné avec un algorithme ; enfin, on explicite mathématiquement la
suite de départ.
Organisation pratique :
Travail autonome en salle informatique.
Fichiers disponibles
- La fiche élève au format pdf (36 Ko)
- Le fichier Xcas compressé (2 Ko)
Fiche élève
Soit 
la
suite définie par 
et pour tout
entier naturel n, 
.
Soit 
la
suite définie par 
et pour tout
entier naturel n, 
.
Partie A : Étude de la suite (un)
1. Calculer les 5 premiers termes de
la suite .
2. a) Écrire sur papier un
algorithme permettant de calculer le 1 001éme terme de la suite
. (On pourra utiliser une
boucle).
b) Traduire cet algorithme avec le logiciel Xcas.
c)
Modifier l'algorithme précédent pour pouvoir calculer 
pour tout n. On
l'appellera calcul_u(n).
Application
: donner la valeur de 
.
3. Quelle conjecture peut-on déduire
des questions précédentes sur les variations de la suite ?
La démontrer.
Quelle
conjecture peut-on déduire des questions précédentes sur la convergence de la
suite ?
4. Approfondissement : On veut
trouver le plus petit entier naturel n vérifiant 
.
Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème.
Partie B : Étude de la suite (sn)
1.
Calculer
.
2. Exprimer le terme 
à l'aide de termes de la
suite .
3. Le but de cette question est de
calculer pour tout entier n.
En
utilisant le programme calcul_u(n), écrire un algorithme permettant de
calculer .
Application
: donner la valeur de 
.
Partie C : Formule explicite de un en fonction de n
Rappel
: 
.
Soit
la suite définie pour
tout entier n par : 
.
1. Déterminer l'expression de 
en fonction de n.
2. Déterminer 
de deux manières
différentes.
3. En déduire l'expression de en fonction de n.
4. Valider les résultats de la question A-2) c).