Niveau : 1èreSTI2D- 1èreSTL

 

Prérequis  :

• utilisation du logiciel géogébra
• étude d’une fonction polynôme du second degré
• recherche d’un maximum

 

Objectifs  :

• utiliser ses connaissances mathématiques pour réaliser une figure à l’aide du logiciel géogébra
• utiliser le logiciel pour émettre une conjecture
• démontrer la conjecture

 

Enoncé  :

On souhaite créer un logo en forme de parallélogramme d'aire minimale à l'intérieur d'un rectangle de dimensions fixées.

 

Soit OABC un rectangle tel que : OA = 3cm et OC = 5cm.

Soit les points I, J, K et L appartenant respectivement aux segments [OA], [ AB], [BC] et [OC] tels que : OI = AJ = BK = CL = t.

Quelle doit être la valeur de t  pour que l'aire du parallélogramme IJKL soit minimale ?

 

Déroulement de la séquence  :

•   En salle informatique (partie A)
•  Travail sur papier en classe ou en devoir maison (partieB).

 

PARTIE A :

Construction d'une figure avec le logiciel Géogébra – Tracé de la courbe représentative d'une fonction et conjecture.

 

APPELER LE PROFESSEUR POUR UNE VERIFICATION DE LA CONSTRUCTION ET DE LA CONJECTURE

 

PARTIE B :

Démonstration.

 

1)                 Soit f (t)  l'aire du parallélogramme IJKL.

            Exprimer f (t) en fonction de t.

2)                 Pour la suite du problème, on admettra que pour tout réel t de l'intervalle [ 0 ; 3 ] 

            f (t) = 2t² – 8t + 15

            a) Calculer la fonction dérivée de f.

            b) Etudier le signe de f ' (t).

            c) Dresser le tableau de variation de f.

            d) A l'aide de la calculatrice, compléter ci-dessous le tableau de valeurs (on donnera

                des valeurs arrondies au dixième).

 

t	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
f(t)

           e) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O;,  )  d'unités  

                graphiques : 2cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées.

 

3)                 a) Déterminer la valeur de t pour laquelle l'aire est minimale.

           b) Quelle est alors la valeur minimale de l'aire ?

4)  Ce résultat est-il conforme avec la conjecture faite dans la partie A ?

 

• Idée de notation :

• partie A sur 10 points (voir grille de compétences dans fichier pdf)
• partie B sur 10 points

 

Documents  :

• Télécharger l'activité et ses fichiers (pdf élève et ggb en zip )