Enoncé :

 

 

Dans  une nouvelle ville française, les réservoirs d'eau potable sont des cylindres insérés dans des cônes métalliques de hauteur 60m et de base de rayon 30m (le cône et le cylindre ayant le même  plan de base et le même axe).

Quelle quantité maximale d'eau le réservoir peut-il contenir ?

 

Partie A :

Recherche par les élèves d'une modélisation de cet exercice sans que l'enseignant  ne suggère une démarche de façon à ce qu'ils construisent eux-mêmes le dessin ci-dessous :

 

 

Soit S le sommet du cône, O le centre de la base inférieure du cylindre et O' le centre de la base supérieure du cylindre.

Soit A un point du plan de base du cône appartenant au bord du cône.

Soit B le point d'intersection du cylindre et du segment [SA].

On fait une section du réservoir par un plan vertical contenant S, O et A.

Soit  x la hauteur OO' du cylindre et r le rayon de base du cylindre.

 

Partie B

 

2)      Représenter la section du réservoir par le plan vertical contenant les points S, O et A.

3)      Exprimer r en fonction de x.

4)      Montrer que le volume V du cylindre est   .

5)  Conclure.