L'arithmétique a été bannie des programmes de mathématiques du collège à cause de l'abus du recours à la décomposition en produit de facteurs premiers. Son enseignement réapparaît dans les nouveaux programmes applicables en sixième dès la rentrée 1996.

Dès la classe de sixième, les élèves sont amenés à travailler sur les nombres en écriture fractionnaire et la division euclidienne. Au cycle central , ils ont l'occasion d'approfondir la notion de multiple et de diviseur, de simplifier des écritures fractionnaires mais sans disposer de critère pour déterminer si la fraction obtenue est irréductible ou non. En troisième, les élèves enrichissent leur connaissance en arithmétique : ils possèdent un théorème caractérisant les fractions irréductibles et l'algorithme d'Euclide ou celui des différences leur fournit une technique de recherche du PGCD de deux entiers.

Il convient de souligner cependant que dans toutes les activités le calcul mental doit être prédominant. La réduction d'une écriture comme 36/48 peut être réalisée en une ou deux étapes sans recourir à la décomposition en produit de facteurs premiers ou à un algorithme de recherche du PGCD. L'arithmétique est donc à travailler tout au long du collège.

De plus, l'arithmétique permet, dans le domaine numérique, de pratiquer une démarche scientifique : conjecture, recherche de contre-exemples, construction d'une argumentation. Les élèves rencontrent au cours d'exercices et de démonstrations les différents types de raisonnement du collège : raisonnement déductif, raisonnement par disjonction de cas, mise en évidence d'un contre-exemple, raisonnement par l'absurde.

Quelques pistes de réflexion

Deux exercices d'arithmétique

 Exercice 1

1°) Former une table de Pythagore de l'addition pour les nombres de 0 à 10.
a) Que peut-on dire de la somme de deux nombres entiers naturels pairs ? de deux impairs ? d'un pair et d'un impair ?
Enoncer les théorèmes et les démontrer.
b) Leurs réciproques sont-elles vraies ?

2°) La somme de deux entiers naturels impairs consécutifs est-elle divisible par 4 ? et s'il s'agit de deux entiers pairs consécutifs ?

Un tel exercice peut être abordé dès la classe de cinquième. Il nécessite peu d'outils (l'écriture d'un nombre pair et d'un nombre impair) et permet de travailler simultanément le calcul algébrique (factorisation, développement) et l'arithmétique. Il est aussi l'occasion de rencontrer des propriétés dont la réciproque est fausse.

 Exercice 2

Démontrer que, pour tout nombre entier naturel non nul n, n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.

En faisant cet exercice, l'élève de troisième révise les techniques de factorisation et s'initie au raisonnement par disjonction de cas.

Un théorème de troisième

Si on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur PGCD, on obtient une fraction irréductible égale.

La démonstration de ce théorème central du cours de troisième est l'occasion d'initier les élèves au raisonnement par l'absurde.

De nombreux exercices, dès la sixième, permettent, à travers les différents chapitres d'algèbre, de travailler et l'arithmétique, et les différents types de raisonnement.