Un problème de construction mobilisant une translation
Équipe académique mathématiques
Bordeaux, juin 2002

 

Fiche élève partie I

(distribuée en début de séance)

Enoncé

On donne deux droites d et d’ et un segment [AB].   

Construire un point E de d’ et un point F de d tels que le quadrilatère ABEF soit un parallélogramme.

Fiche élève partie II

(distribuée après la séquence orale utilisant l’imagiciel)

1. Construire à la règle et au compas la droite d’’ translatée de la droite d dans la translation de vecteur . On laissera apparents les traits de construction.

 

2. Soit E le point d’intersection des droites d’ et d’’.

Construire le point F tel que le quadrilatère ABEF soit un parallélogramme.

 

3. Démontrer que le point F appartient à la droite d.

En déduire que le parallélogramme ABEF répond à la demande.

 

4. Les questions précédentes nous ont permis d’aboutir en construisant d’abord le point E puis le point F.

Proposer une méthode qui amène à construire le point F puis le point E.

 

5. Construire :

Fig 1 : une droite d’ telle que la construction demandée soit impossible (même en sortant du cadre).

Fig 2 : une droite d’ telle que plusieurs parallélogrammes répondant à la demande existent.

 

 

Séquence de travail à l’oral utilisant l’imagiciel

1. Ecran initial

Il montre les droites d et d’ et le segment [AB].

Dans le but de rappeler la notion de translation en l’illustrant de façon dynamique, il peut s’avérer pertinent “d’oublier” un instant la configuration initiale pour ne retenir que le segment [AB] et visualiser des parallélogrammes ayant [AB] comme côté …

2. Commande 0 :

Fait disparaître les droites d et d’ (commande bascule).

Commande V :

(le point F est pilotable à la souris).

Commande P :

Crée le parallélogramme ABEF.

La possibilité de déplacer le point F et de disposer de son image E dans la translation de vecteur tout en montrant (ou non) le parallélogramme sous-jacent “ancre” une image mentale dynamique de la translation réutilisable ultérieurement.

Commande A (ou Commande B) :

Replace les points F et E respectivement sur A et B.

On peut alors revenir au problème initial et proposer à un élève de tenter “d’ajuster” le vecteur  de manière à ce que les points F et E appartiennent respectivement à d et à d’.

Après quelques hésitations, l’idée de faire “glisser” le point F sur d et “d’ajuster” le seul point E sur d’ vient naturellement …

3. Commande CTRL F :

Crée une poignée verte pilotable à la souris sur la droite d.

Commande F :

Affecte le point F sur la poignée. Le point F est alors assujetti à se déplacer sur d. (La commande L libère, si on le souhaite, le point F de cette contrainte et le rend de nouveau pilotable à la souris dans le plan tout entier).

Commande Trace :

Affiche la trace du point E lors des essais d’ajustement.

En s’interrogeant sur la définition de chaque point de cette trace, on s’attachera à faire émerger de notre démarche pragmatique l’intérêt de la construction de l’image de la droite d dans la translation de vecteur .

4. Commande d :

Droite d’’ translatée de d dans la translation de vecteur .

Commande 1 :

Affecte E au point d’intersection de d’ et d’’.

Après cette activité de recherche menée à l’oral, on peut proposer la partie II de la “ fiche élève ” qui demande la réalisation de la construction à la règle et au compas ainsi que la mise en forme du raisonnement.

Les commandes décrites ci-dessous proposent une illustration de la question 4 de la “ fiche élève ” : On utilise ici la translation de vecteur .

5. Commande CTRL V :

Crée un vecteur
 
(le point E’ est pilotable à la souris).

Commande CTRL P :

Crée le parallélogramme ABE’F’.

Commande A (ou Commande B) :

Replace les points F’ et E’ respectivement sur A et B.

Commande CTRL E :

Crée une poignée rouge pilotable à la souris sur la droite d’.

Commande E :

Affecte le point E’ sur la poignée. Le point E’ est alors assujetti à se déplacer sur d’. (La commande L libère, si on le souhaite, le point E’ de cette contrainte et le rend de nouveau pilotable à la souris dans le plan tout entier).

Commande Trace :

Affiche la trace du point F’ lors des essais d’ajustement.

Cette démarche amène à construire l’image de la droite d’ dans la translation de vecteur etc …

Commande CTRL d :

Droite d’’’ translatée de d’ dans la translation de vecteur .

Commande 1 :

Affecte F’ au point d’intersection de d et d’’’.