| Centre de gravité d'un triangle : une étude de lieu |
| Équipe académique Mathématiques Bordeaux, novembre 2003 |
Niveau
Classe de quatrième
Objectifs
Initiation à la notion de lieu.
Travail sur les droites remarquables du triangle, en application de la propriété du centre de gravité situé aux 2/3 de la médiane (celle-ci n'est pas une compétence exigible du programme mais peut être vue).
Prérequis
S’il veut utiliser l'imagiciel tout prêt, le professeur doit avoir quelques notions sur les logiciels de géométrie dynamique et être familiarisé avec les commandes élémentaires de Géoplan.
S’il veut "fabriquer" ou adapter le fichier lui-même, le professeur doit avoir une bonne maîtrise de Géoplan.
Aucun prérequis informatique pour les élèves : c’est le professeur qui utilise le logiciel.
Par contre les élèves doivent connaître :
- les propriétés du parallélogramme (ici les diagonales qui se coupent en leur milieu) (vu en 5e)
- le cercle comme ensemble de points équidistants d'un point donné (vu en 6e)
- les médianes d'un triangle, leur concourance et la position du centre de gravité au 2/3 sur chaque médiane (vu en 4e)
- il sera utile qu'ils aient travaillé sur les fractions si on veut rédiger correctement et montrer que OG = 1/3 OM.
Les élèves n'ont pas vu les vecteurs mais cela n'est pas nécessaire pour la démonstration.
Organisation pratique
Utilisation en classe entière avec un ordinateur relié à un vidéo-projecteur.
Logiciel Géoplan + fichier gravlieu.g2w.
Description
Activité de recherche.
Le professeur manipule l’imagiciel créé avec Géoplan au fur et à mesure de l’avancement de la séance.
Durée approximative de la séance :
1 heure pour la recherche progressive et la formulation de la conjecture
puis rédaction de la démonstration (qui peut par exemple être faite en dehors de la classe sur la base de notes prises en classe)
Énoncé de l’exercice
| Sur la figure ci-contre, C est un cercle de centre O. Le point A est fixe sur ce cercle, et le point M est mobile sur ce même cercle. On définit le point B tel que le quadrilatère OAMB soit un parallélogramme. Le point G est le centre de gravité du triangle OAB. Quel est l’ensemble des points que décrit G quand M se déplace sur le cercle ? |
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Construction de la figure
La touche A permet de tracer la figure pas à pas devant les élèves :
La conjecture
| Il faut amener les élèves à formuler des conjectures qui pourront être vérifiées à l’aide du logiciel. Par exemple en visualisant la trace laissée par le point G quand on déplace le point M sur le cercle. La touche G permet de garder la trace du point G. La touche M permet de déplacer le point m sur le cercle à l’aide des flèches de direction. "Le point G semble décrire un cercle dont on peut chercher à exprimer le rayon." |
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Questionnement et conjectures intermédiaires
On pourra compléter la figure afin de pouvoir énoncer des conjectures intermédiaires :
| "M, G et O sont alignés" |
Pour le démontrer on construit le point I |
Passage à l’écrit
Il reste ensuite à dégager les étapes successives de la démonstration et à la rédiger.
![Construction du milieu I de [AB]](gravlieu05.gif)