D'après une suggestion du projet de programme de Terminale S.

Archimède encadre le périmètre du cercle (choisi ici avec un rayon de 1/2), par les périmètres de deux polygones réguliers. (Ici des hexagones).

Puis il double le nombre de côtés, un certains nombres de fois successivement, jusqu'à obtenir un polygone à :

6x2x2x2x2= 96 côtés. 

Posons :  c = MM' ; c' = M'M" (comme corde ou côté) ; b = OB ; b' = OB' (comme bras).

C = NN'.

On peut démontrer alors, grâce à des triangles semblables, les relations :

  .

Soient les suites correspondant à un doublement du nombre de côtés à chaque fois, et notons p_n et Pn les périmètres des polygones intérieurs et extérieurs à chaque étape. Les relations précédentes entraînent les suivantes :

.

Ces relations permettent de trouver de proche en proche les termes des différentes suites suites b_n , p_n et Pn .

Il ne reste qu'à programmer, avec Excel :

Archimède a fait à la main les calculs pour un nombre de côté égal à 96.