Voici, retranscrit en français, le texte d’Euler datant de 1748, extrait de « Introduction à l’Analyse des infiniments petits », chapitre XVI :

Le premier moyen dont nous parlerons, suppose qu’on ait déjà déterminé assez exactement la valeur d’une racine(*) ; qu’on sache, par exemple, qu’une telle valeur surpasse 4, et qu’elle est plus petite que 5.

Dans ce cas, si l’on suppose cette valeur = 4 + p, on est sûr que p exprime une fraction. Or si p est une fraction, et par conséquent moindre que l’unité, le carré de p, son cube, et en général toutes les puissances plus hautes de p, seront encore beaucoup plus petites à l’égard de l’unité, et cela fait que, puisqu’il ne s’agit que d’une approximation, on peut les omettre dans le calcul. Quand on aura déterminé à peu près la fraction p, on connaîtra déjà plus exactement la racine 4 + p ; on partira de là pour déterminer une valeur encore plus exacte, et on continuera de la même manière, jusqu’à ce qu’on ait approché de la vérité autant qu’on le souhaitait.

Nous éclaircirons cette méthode d’abord par un exemple facile, en cherchant par approximation la racine de l’équation x² = 20.

On voit ici que x est plus grand que 4 et plus petit que 5 ; en conséquence de cela, on fera

x = 4+p, et on aura : x² = 16 + 8p + p² = 20 ; mais comme p² est très petit, on négligera ce terme pour avoir finalement l’équation : 16+8p = 20 ce qui donne p = 1/2 et x = 4+1/2 ce qui approche déjà beaucoup plus de la vérité.

Si donc on suppose à présent x = 9/2 + p, on est sûr que p signifie une fraction encore beaucoup plus petite qu’auparavant, et qu’on pourra négliger p² à bien plus forte raison.

On aura donc x² = 81/4 + 9p = 20 d’où p = -1/36 donc x = 4 + 1/2 - 1/36.

Que si l’on voulait approcher encore davantage de la vraie valeur, on ferait x = 4 et 17/36 + p, et on aurait x² = 10 et -1/1296 + 8 et 34/36p = 20 ainsi p = -1/11592, donc x = 4 et 17/36 et -1/11592 d’où x = 4 et 5473/11592, valeur qui approche si fort de la vérité, qu’on peut avec confiance regarder l’erreur comme nulle.

(*) cette méthode est celle que Newton a donnée au commencement de « la méthode des fluxions ». En l’approfondissant, on la trouve sujette à différentes imperfections ; c’est pourquoi on y sublimera avec avantage la méthode que M. de la Grange a donnée dans les Mémoires de Berlin, pour les années 1767 et 1768.

1) A partir de ce texte, reprendre les calculs d’Euler et comparer le résultat obtenu avec le résultat donné par la calculatrice.

2) Ligne 13 : comment peut on obtenir ce résultat en utilisant la fonction racine carrée ?

3) Méthode générale :

Soit a un entier dont on cherche à approcher la racine carrée.

On pose u₀ = n, plus grand entier dont le carré est inférieur à a. On note u₁ = u₀ + p avec 0 < p < 1, et on cherche p de sorte que u₀² + 2u₀p = a .

On a : p = 1/2(a/u₀ – u₀) d’où u₁ =1/2(a/u₀ + u₀), on pose alors u₂ = u₁ + p’ et on itère le procédé, on constate que l'on retrouve la suite obtenue par la méthode de Newton, vérifiant pour tout entier naturel n :  u_n+1 = 1/2 (a/u_n + u_n ).