Bactéries

Bactéries

Remarques préalables

Dans cet exercice on assimile le nombre de bactéries A et B au bout de n semaines à des suites respectivement géométrique et arithmétique. Les nombres de bactéries sont des nombres entiers, mais les termes de la suite géométrique ne le sont en général pas. On fera observer ce problème aux élèves et on pourra agir sur le format des cellules correspondantes. On peut aussi introduire la suite (E(1,025u_n)) des parties entières de u_net observer les valeurs ainsi obtenues pour déterminer le nombre de bactéries A.
En situation d'activité de classe, les questions peuvent être beaucoup plus ouvertes. On peut, par exemple, demander aux élèves d'organiser les calculs pour répondre directement à la question 2. a)

Une culture de 4500 bactéries A augmente chaque semaine de 2,5% par rapport à la semaine précédente.
Une culture de 5000 bactéries B augmente de 140 bactéries par semaine.
On note u_n le nombre de bactéries A et v_n le nombre de bactéries B au bout de n semaines.

1. Calculer le nombre de bactéries A et le nombre de bactéries B au bout de quatre semaines et au bout de dix semaines.

2. On veut déterminer au bout de combien de semaines le nombre de bactéries A dépasse celui de bactéries B. On peut pour cela compléter un tableau donnant _un et _vn en fonction de n, en utilisant un tableur ou une calculatrice.

On a commencé à déterminer les valeurs de u_n et v_n avec un tableur

1	A	B	C
2	n	u_n	v_n
3	0	4500	5000
4	1	4612,5	5140
5	2	4727,8125	5280
6	3	4846,007813	5420
7	4	4967,158008	5560
8	5	5091,336958	5700
9	6	5218,620382	5840
10	7	5349,085892	5980
11	8	5482,813039	6120
12	9	5619,883365	6260
13	10	5760,380449	6400

a)      Expliquer par quelle formule on passe de la valeur de la case B3 à celle de la case B4, puis de la valeur de la case B4 à celle de la case B5.
b)      Même question pour les cases C3 et C4, puis C4 et C5.
c)      A l'aide d'une calculatrice, déterminer à partir de combien de semaines il y a plus de bactéries A que de bactéries B (justifier en donnant en particulier les résultats numériques nécessaires à la compréhension de cette justification).
Au bout de combien de semaines le nombre de bactéries A a-t-il augmenté de 25% par rapport au nombre initial de bactéries de la culture A ? Expliquer et justifier la réponse.