Croissance polynomiale

Fonctions puissances

Quelques lois puissances dans l'histoire de la Physique
Fonction carré et Parabole chez Galilée
Bibliographie
"Discours concernant deux sciences nouvelles", Galilée, PUF (Épiméthée)
"Les génies de la Science, Galilée", (Magazine), Pour la Science, Nov. 1999
Une publication de manuscrits de Galilée sur le mouvement
L'ensemble du site de l'Institut et Musée d'histoire des sciences de Florence est une réussite.

Exposant 3/2 dans la troisième loi de Kepler.

Lois puissances et fractales

Croissance exponentielle
et
suites géométriques

La croissance exponentielle est modélisée mathématiquement par les suites géométriques et les fonctions exponentielles.
Datation par Carbone 14
On pourra aller sur les sites :
http://www.univ-lyon1.fr/~carbon14/succes.htm
http://www.univ-lyon1.fr/~carbon14/methode.htm
http://www.cea.fr/Fiches/Rdactivite/Decroi.htm
Gammes bien tempérées
La "gamme bien tempérée" est basée sur une suite de notes dont les périodes (ou les fréquences) sont en suite géométrique de raison racine douzième de 2. 
Sur la page : 
http://www.inrp.fr/Acces/JIPSP/phymus/m_lexiq/ac_lxbc2.htm ,
on pourra consulter les entrées "Gamme" et "Tempérament". 
On pourrait aussi examiner différents instruments de musique : guitares, cordes de Piano...
Unités de mesure logarithmique
Un logarithme n'est autre que la fonction réciproque d'une fonction exponentielle. 
Certaines unités de mesure sont basées sur un logarithme.
C'est le cas du décibel, on pourra consulter le livre déjà cité, "Le son musical", John Pierce, L'Univers de Sciences, Pour la Science / Belin, et compléter avec la page : 
http://www.inrp.fr/Acces/JIPSP/phymus/m_lexiq/ac_lxbc1.htm , 
en commençant par exemple avec l'entrée "Décibels".
Fractales et suites géométriques
Le raisonnement de Malthus 
Comparaison des suites arithmétiques et géométriques, c'est-à-dire en fait des fonctions affines et exponentielles. Le texte de Malthus évoqué est d'usage très courant en SES. On le trouve aussi à l'adresse :
http://www.taieb.net/auteurs/Malthus/essai_01.html#01
L'invention de l'exponentielle et du logarithme par Neper 
John Napier ou Neper a découvert, un peu par inadvertance, les fonctions exponentielle et logarithme si fondamentales, portant son nom, en partant d'un raisonnement de type cinématique. On trouvera une version de ses tables à l'adresse suivante :
http://www.napier666.demon.co.uk/index.htm

Croissance des populations

Le raisonnement de Malthus 
http://www.taieb.net/auteurs/Malthus/essai_01.html#01
Évolutions de populations animales
Une adresse intéressante pour l'Écologie quantitative des populations:  http://www.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/ 
On pourra en particulier consulter sur ce site les liens relatifs à la reproduction des populations et aux modèles exponentiels et logistiques
5. Reproducing populations: exponential and logistic growth.
5.1 Exponential model   
5.2. Logistic model  
5.3. Discrete-time analogs of the exponential and logistic models  
5.4. Questions and assignment)
A signaler également sur cette même page, les liens sur les proies et prédateurs et les parasites, ainsi que le modèle de Lotka-Volterra, dans le paragraphe 10. de la même page.On trouvera aussi une présentation de ces modèles, avec des Applets Java amusantes, à l'adresse suivante : 
http://www.bio.brandeis.edu/biomath/menu.html 
Où l'on pourra consulter les "Dixon's Population Pages", sur la croissance exponentielle par exemple. 

Croissance des plantes, phyllotaxie

Nombre d'Or et nombres de Fibonnacci en phyllotaxie
Les mathématiques font une irruption spectaculaire en Botanique, dans le domaine de la phyllotaxie (classification des feuilles), où intervient le Nombre d'Or, et étroitement liée à ce dernier, la suite de Fibonnacci. 
On peut retrouver ces nombres dans les pommes-de-pin, les fleurs de Tournesol, et la disposition des feuilles de nombreuses plantes. 
Un "vieil" article de la revue "La Recherche" est fort intéressant à ce sujet : "La Physique des Spirales Végétales", par S. Douady et Y. Couder, La Recherche 250, Janvier 1993, Volume 24 ; Page 26, reprenant leur article en anglais : " Phyllotaxis as a Physical Self-Organized Growth Process", Physical Review Letters, 30 March 1992, Volume 68, Number 13.

On trouvera une initiation à ce thème, moins approfondie cependant que l'article de la Recherche dans une page Web de "UNIL, Faculté des Sciences"
On trouvera à l'adresse suivante une belle présentation de la phyllotaxie liée au nombre d'or : http://www.math.smith.edu/~phyllo/
En particulier la page qui fait tourner des programmes Java assez spectaculaires : http://www.math.smith.edu/~phyllo/Applets/contents.html
Dans cette page, aller en particulier dans le paragraphe "The geometry of lattices" sur les liens "Spiral Applet", "Cylinder Applet".Bibliographie
"Le livre des nombres" - John .H.CONWAY - éd. Eyrolles
"Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques" - David WELLS - éd. Eyrolles