1744Angle maximum |
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Équipe académique Mathématiques |
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"Problèmes à chercher" – IREM Grenoble
Première S, Terminale S.
Mieux voir dans l’espace.
Mesurer des distances et des angles dans l’espace.
Utiliser la trigonométrie pour traiter un problème d’optimisation
dans l’espace.
Travaux dirigés en salle informatique. Pour la correction, le professeur peut utiliser les fichiers Geospace angle_max.g3w et angle_max.g2w à placer en mosaïque verticale.
Selon le niveau de la classe, on peut imposer la longueur du segment [AB] (par exemple 10) ce qui crée une petite difficulté informatique si l'élève n'a pas l'idée d'utiliser le repère par défaut, sinon, dans la troisième partie, l'élève pourrait être amené à inventer une lettre paramètre pour la distance AB (par exemple a).
Tout le travail peut être réalisé en une heure en salle informatique, avec remise en fin de séance d'un document écrit :
Première étape: réalisation de la figure avec un logiciel de géométrie dynamique et conjecture.
Deuxième étape: démonstration par la géométrie puis rédaction.
Dans le cas peu probable où un élève ne saurait pas faire la première question, le professeur pourrait lui suggérer l'affichage de la valeur du produit scalaire par le logiciel, si ce dernier le permet.
Troisième étape: démonstration par l'analytique et rédaction.
ABCDEFGH est un cube de centre O et M un point de la diagonale [BH]
Pour quelle position de M, l’angle AMC est-il maximum ?
On note a l’angle AMC. Préciser la valeur maximale de a.
Activité testée dans une terminale S de niveau moyen, les élèves travaillant par groupe de deux. Beaucoup d'entre eux ont introduit un repère orthonormal de l'espace mais d'autres ont aussi réussi à effectuer la démonstration à l'aide de la trigonométrie.
Dans la fiche élève proposée, la troisième partie, par son caractère ouvert, autorise les élèves à chercher dans différentes pistes (ce qui est l'intérêt de ce type d'activités) ; par contre s'il s'agit d'une épreuve pratique en temps limité, on peut inciter les élèves à se diriger vers l'analytique (méthode plus rapide), en suggérant un repère et en faisant calculer un produit scalaire. On peut même envisager l'outil « calcul formel » pour étudier les variations du cosinus de l'angle AMC.
• Observer la figure sous différents points de vue.
• Déplacer un point en affichant les valeurs correspondantes de l’angle.
• Afficher des vues en vraie grandeur dans différents plans.
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