Action nationale "Maths et TICE" 2008-2009

 

Niveau :

1e S, Term S

 

Objectif :

Visualiser un lieu de points à partir de données géométriques en utilisant un logiciel de géométrie dynamique.

Utiliser le logiciel pour conjecturer un résultat.

Démontrer la conjecture

 

Prérequis

Mathématiques :

• Calculer les coordonnées du barycentre de deux points,
• reconnaître une courbe particulière et déterminer une équation cartésienne d'une parabole.

TICE : Utilisation de base d’un logiciel de géométrie dynamique :

• introduire et piloter un paramètre (curseur ou variable réelle libre) ;
• construire le barycentre de deux points pondérés ;
• afficher la trace d’un point ou tracer un lieu

• tracer une tangente.

 

Organisation pratique :

Les élèves réalisent la construction avec un logiciel de géométrie dynamique, la font valider par le professeur ; ils émettent ensuite une conjecture.

La démonstration est envisagée après validation de la conjecture par le professeur.

La correction est proposée ici avec les logiciels Geogebra et Geoplan.

 

Problème

Soit t un réel compris entre 0 et 1, ABC un triangle quelconque et M, N et P les points ainsi définis :

- M est le barycentre des points pondérés (A; t) et (C; 1-t) ;

- N est le barycentre des points pondérés (C; t) et (B; 1-t) ;

- P est le barycentre des points pondérés (M; t) et (N; 1-t).

1°) (a) Réaliser une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

(b) Visualiser le lieu des points P lorsque t parcourt l’intervalle. Emettre une conjecture sur la nature de la courbe obtenue.

2°) Dans un repère orthonormal direct, on considère les points A(-1;1) , B(1;1) et C(0;-1).

(a) Réaliser une figure dans ce cas particulier à l’aide du logiciel de géométrie dynamique. Visualiser le lieu des points P lorsque t parcourt l’intervalle. Emettre une conjecture sur l’équation de la courbe obtenue.

(b) Quel rôle joue la droite (MN) pour la courbe ? Le vérifier expérimentalement.

3°) Démontrer la conjecture faite à la question 2°) (a).

 

Fichiers disponibles :

• Grille de compétences
• Fiche élève (bezier_elv.pdf, 42 Ko)
• Fichier Geoplan zippé (bezier.g2w, 1 Ko)
• Fichiers GeoGebra zippés (bezier1.ggb, bezier2.ggb ; 2 Ko)

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Fichier Geogebra bezier1.ggb en ligne :

double-cliquer pour ouvrir dans une fenêtre avec les menus;
Ctrl cliquer-glisser pour déplacer la figure