Étude de l’équation f’ = k f.

Théorème : “il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que :

 f ’ = f et  f (0) = 1.”

Relation fonctionnelle caractéristique.

Introduction du nombre e. Notation e^x.

Extension du théorème pour l'équation f ’ = k f.

L’étude de ce problème pourra être motivée par un ou deux exemples, dont celui de la radioactivité traité en physique, ou par la recherche des fonctions dérivables f telles que f(x+y)=f(x)f(y).

On construira avec la méthode d'Euler introduite en première des représentations graphiques approchées de f dans le cas
k = 1 ; on comparera divers tracés obtenus avec des pas de plus en plus petits.

L’unicité sera démontrée. L’existence sera admise dans un premier temps. Elle sera démontrée ultérieurement à l’occasion de la quadrature de l’hyperbole.

Approximation affine, au voisinage de 0, de h a e^h.

Ce travail se fera très tôt dans l’année car il est central dans le programme de mathématiques et de physique. Il fournit un premier contact avec la notion d’équation différentielle et montre comment étudier une fonction dont on ne connaît pas une formule explicite. La méthode d’Euler fait apparaître une suite géométrique et donne l’idée que l’exponentielle est l’analogue continu de la notion de suite géométrique, ce que l’équation fonctionnelle confirme.