1372

Partie 1 : Étude d’une équation fonctionnelle

On considère une fonction f dérivable et non identiquement nulle sur R, vérifiant la relation :

(1)    pour tous réels x et y : f (x + y) = f (x) f (y).

En écrivant f (x) = f (x – a + a), on montre que si la fonction f s’annule en a, elle est identiquement nulle. Cela entraîne que la fonction f ne s’annule jamais.

En faisant x = 0 dans la relation (1), on détermine la valeur de f (0).

En faisant x = y = t/2 dans la relation (1), on établit que f (t) ³ 0 pour tout réel t.

On peut donc en déduire que f (t) > 0 pour tout t de R.

Par dérivation de la fonction y a f (x + y), on établit que :

(2)    pour tout réel x : f ’(x) = f ’(0) f (x).

On pose l = f ’(0).la fonction f vérifie donc l’équation f ’ = l f sur R.

Partie 2 : Étude de la réciproque

On admet les deux résultats suivants :

1) Il existe une fonction qui vérifie

(2’)  pour tout réel x : j’(x) = j(x) et j(0) = 1.

2) Étant donnés deux réels a et b, il y a une unique solution à l’équation f’ = l f qui vérifie f (a) = b.

En supposant (2’), on montre l’existence d’une solution à l’équation f ’ = l f, en posant
f (x) = j (lx). On a alors l’unicité de la solution vérifiant f (0) = 1.

On montre alors que la fonction f ainsi définie vérifie la relation (1) :

on pose g₁(x) = f (a + x) et g₂(x) = f (a) f (x) ;

g₁ et g₂ vérifient toutes les deux l’équation f ’ = l f, et on a g₁(0) = g₂(0) = f (a) ;

d’après l’unicité, on a g₁ = g₂ et f vérifie donc la relation fonctionnelle (1).

Partie 3 : Méthode d’Euler

On s’intéresse plus particulièrement à la fonction j solution de (2’).

On pose x₀ = 0 et x_n = x₀ + nh où h est le pas utilisé. On a y_n = y_n-1 + h y_n-1 = (1+h) y_n-1.

Avec un tableur, on visualise la courbe obtenue en joignant les points de coordonnées (x_n , y_n).

On peut aussi comparer avec la courbe représentative de la fonction exponentielle, et changer le pas h pour voir comment évolue la courbe.

Partie 4 : Notation exponentielle

La fonction j vérifie la relation fonctionnelle (1).

Donc si n est un entier naturel, on montre que j(n) = (j(1)) ⁿ.

On a aussi pour n entier naturel, j(–n) = 1 / j(n) donc pour tout entier relatif p on a j(p) = (j(1)) ^p.

On pose e = j(1) et on généralise la notation obtenue pour les entiers aux réels ; on obtient, pour tout x réel : j(x) = e^x.