Bordeaux, juin 2003
| Représentation graphique d’une fonction de deux variables |
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| Équipe académique Mathématiques Bordeaux, juin 2003 |
Remarque
Document à destination des enseignants désirant construire un imagiciel présentant des surfaces et leurs sections par des plans parallèles aux plans de bases en Première ES ou Terminale ES et S.
Prérequis
Utilisation de Géospace et/ou des contrôles ActiveX.
Objectifs
Cette fiche montre comment construire pas à pas la représentation graphique d’une fonction de 2 variables ainsi que ses sections par des plans parallèles aux plans de base en prenant comme exemple la fonction f définie par f(x,y) = x² + y² sur [-4 ; 4] x [-4 ; 4].
Ce canevas pourra être ensuite réutilisé pour créer d’autres imagiciels du même type
Description
Le travail proposé ici utilise la nouvelle version de Géospace. Les constructions seront réalisées à partir d’un imagiciel de base contenant déjà des plans mobiles parallèles aux plans de base.
Cet imagiciel est disponible au choix :
- soit dans le fichier Geospace : Planpar.g3w
- soit sous forme de contrôles Activex insérés dans une page traitement de texte (Lotus WordPro, Word 97, 2000 ou Xp), dans un classeur tableur (Excel 97, 2000 ou Xp) ou dans une page Web visualisée à l’aide d’Internet Explorer. Les fichiers disponibles sont (selon le cas) :
Plansparabases_LotusWordPro.lwp
Plansparabases_Word97.doc, Plansparabases_Word2000-Xp.doc
Plansparabases_Excel97.xls, Plansparabases_Excel2000-Xp.xls
Plansparabases_html.htm
Il est nécessaire pour utiliser l’un de ces fichiers d’avoir au préalable installé les contrôles ActiveX du Creem sur la machine.
Construction de l’imagiciel
On se propose de construire la représentation graphique d’une fonction de deux variables à partir d’un des fichiers cités plus haut (planpar.g3w, Plansparabases_LotusWordPro.lwp, …) contenant Géospace, les plans parallèles aux plans de base et les commandes permettant de déplacer ces plans, de les faire apparaître ou disparaître...
Donc, commencer par charger le fichier de son choix.
La touche 0 (zéro) permet de placer les 3 plans sur les plans de base.
La touche U permet de modifier au clavier (flèches) la taille des trois plans.
La touche H permet d'afficher le plan Ph.
La touche J permet d'afficher le repère orthonormé associé au plan Ph.
La touche Z permet de déplacer le plan Ph au clavier.
La touche F permet d'afficher le plan Pf.
La touche G permet d'afficher le repère orthonormé associé au plan Pf.
La touche X permet de déplacer le plan Pf au clavier.
La touche V permet d'afficher le plan Pv.
La touche B permet d'afficher le repère orthonormé associé au plan Pv.
La touche Y permet de déplacer le plan Pv au clavier.
La touche 1 permet d'afficher l'intersection des plans Ph et Pv.
La touche 2 permet d'afficher l'intersection des plans Ph et Pf.
La touche 3 permet d'afficher l'intersection des plans Pf et Pv.
Représentation graphique de la surface
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Objets à construire Faire apparaître : - le repère par défaut. - la fonction s définie par : s(x,y) = x² + y². - sa représentation graphique dans [-4 ; 4]x[-4 ; 4]. Créer une commande permettant d’afficher ou non cette surface |
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Outils à utiliser Fonction numérique : Créer / Numérique / Fonction numérique / A 2 variables Représentation graphique d’une fonction de deux variables : Créer / Ligne / Maillage / Graphe d’une fonction à 2 variables |
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Remarque La représentation graphique ainsi construite est contenue dans un parallélépipède rectangle de base carrée (dans cet exemple) ; lors de sa projection sur un plan parallèle au plan xoy on obtiendra un carré. Si l’on veut avoir une projection correcte sur un plan parallèle au plan xoy il faudra prendre soin, lors de la définition de la fonction s, de le faire à l’aide de la formule : Ceci aura pour effet de ne pas construire les points de la représentation graphique dont la côte s(x,y) serait telle que s(x,y) > 15. |
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Travail à effectuer sur l’imagiciel ainsi construit
Faire pivoter la représentation graphique ainsi construite en utilisant les possibilités de changement de vue d’une figure de Géospace.
Faire afficher les plans Pf, Pv ou Ph et les placer de face (à l’aide du menu : Vue / Vue avec un autre plan de face) ; observer la figure lorsque l’on modifie x, y ou z.
Section de la surface par des plans parallèles aux plans de base
On distinguera le cas des plans parallèles à xoz et yoz pour lesquels il est simple de construire l’intersection en tant que trace ou lieu d’un point, et celui d’un plan parallèle à xoy qui nécessite de connaître au préalable l’équation de cette section.
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Section par un plan parallèle au plan yoz Faire apparaître le plan Pf. Augmenter la valeur de u afin d’agrandir « l’image » de ce plan. Créer le point M1 (x ; y ; s(x,y)). Ce point est dans le plan Pf, si on modifie y au clavier, il va se déplacer dans le plan. Créer la trace du point M1 en modifiant y. Créer le lieu lx du point M1 (le pilote sera y). Placer le plan Pf de face et modifier y au clavier. Créer une commande permettant d’afficher ou non le lieu lx du point M1. |
Vue globale avec les deux sections Vue avec le plan Pv de face Vue avec le plan Pf de face |
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Section par un plan parallèle au plan xoz Faire apparaître le plan Pv. Augmenter la valeur de u afin d’agrandir « l’image » de ce plan. Le point M1 (x ; y ; s(x,y))est dans le plan Pv, si on modifie x au clavier, il va se déplacer dans le plan. Créer la trace du point M1 en modifiant x. Créer le lieu ly du point M1 (le pilote sera x). Placer le plan Pv de face et modifier y au clavier. Créer une commande permettant d’afficher ou non le lieu ly du point M1. |
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Les outils à utiliser Trace d’un point Afficher / Sélection Trace (Cliquer ensuite sur l’objet qui doit laisser sa trace, puis valider par OK) On passera ensuite en mode trace par : Afficher / Mode Trace (pour sortir du mode Trace appuyer sur la touche Echap). Lieu d’un point Créer / Ligne / Courbe / Lieu d’un point |
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Travail à effectuer sur l’imagiciel ainsi construit : Déplacer le point M1 (la touche X permet de faire varier la valeur de x à l’aide des flèches, la touche Y celle de y). Placer successivement les plans Pv et Pf de face ; examiner la section ainsi obtenue et déterminer son équation. |
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Section par un plan parallèle au plan xoy Faire apparaître le plan Ph. Augmenter la valeur de u afin d’agrandir « l’image » de ce plan. La section de notre surface avec le plan de côte z est le cercle d’équation x² + y² = z. Créer la représentation graphique lz de ce cercle dans le plan Ph en tant que représentation graphique de la courbe paramétrée : Placer le plan Ph de face et modifier z au clavier. Créer une commande permettant d’afficher ou non cette courbe. |
Vue globale Vue avec le plan Ph de face |
Construction de la surface à partir de l’une de ses sections
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Construction à partir de la section par le plan Pv Cacher la surface et ne faire afficher que sa section par le plan Pv ainsi que ce plan. Sélectionner cette section afin qu’elle puisse laisser sa trace. Passer en mode Trace. Appuyer sur la touche Y, puis modifier la valeur de y à l’aide des flèches. |
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Construction à partir de la section par le plan Ph Cacher la surface et ne faire afficher que sa section par le plan Ph ainsi que ce plan. Sélectionner cette section afin qu’elle puisse laisser sa trace. Passer en mode Trace. Appuyer sur la touche Z, puis modifier la valeur de z à l’aide des flèches. |
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