Du paraboloïde hyperbolique au cône

Équipe académique Mathématiques Bordeaux, juin 2003

Niveau

Terminale S – Enseignement de spécialité

Objectifs

D’une part : obtenir l’équation d’une hyperbole sous la forme X² - Y² = Cste.
(On effectue un changement de repère dans la section du paraboloïde hyperbolique par un plan parallèle au plan xoy. On justifie ainsi que les sections du cône par des plans parallèles à son axe sont des hyperboles.)

D’autre part : justifier le nom de cette surface en étudiant ses sections par des plans parallèles aux plans de base d’un nouveau repère.

Organisation pratique

Description

Séquence à utiliser en classe entière à l’aide d’un ordinateur couplé à un vidéo- projecteur.

L’enseignant utilise cet imagiciel dans le cadre de son cours pour mettre en évidence les sections du paraboloïde hyperbolique par des plans parallèles aux plans de base.

Il peut par ailleurs placer ces plans de face afin d’étudier plus précisément ces sections.

Il a aussi la possibilité de générer le paraboloïde hyperbolique à partir de l’une de ses sections par un plan parallèle aux plans de base.

Enfin, à partir du paraboloïde hyperbolique d’équation z = x . y construit dans le repère par défaut, on effectue un changement de repère par rotation d’axe oz et d’angle .

Partie 1 : Travail dans le repère par défaut

Les commandes de base

Cet imagiciel propose la visualisation du paraboloïde hyperbolique Cs d’équation : z = x . y.

On pourra visualiser ses sections par trois plans parallèles aux plans de base : Ph est le plan parallèle au plan xoy, Pf est le plan parallèle au plan yoz, Pv est le plan parallèle au plan zox

Pour aller plus loin : placer un plan de face

Afin d’étudier de manière plus précise les sections du paraboloïde hyperbolique par un plan parallèle aux plans de base, l’imagiciel offre la possibilité de placer ce plan de face.

Reconstruire la surface à partir de l’une de ses sections

Les commandes proposées vont permettre de reconstruire le paraboloïde hyperbolique à partir de l’une de ses sections ; ces commandes utilisent le mode Trace de Geospace qu’il faudra quitter avant toute nouvelle manipulation en appuyant sur la touche Echap.

Avant d’utiliser ces commandes on cachera au préalable la surface Cs en appuyant sur la touche S.

Remarque :

Pour améliorer la fluidité de l’affichage il est possible de modifier le pas de déplacement des objets mobiles (plans ou génératrice) à l’aide du menu : Piloter è Modifier les paramètres de pilotage.

Partie 2 : travail dans le nouveau repère

Étude théorique

1. Montrer que le repère  est un repère orthonormal.

2. Déterminer l’équation de (Cs) dans ce nouveau repère et étudier les sections de (Cs) par les plans parallèles aux nouveaux plans de base.

3. Dans le cas de la section de (Cs) par le plan d’équation X = a, calculer les coordonnées du sommet S_a de la parabole et donner le lieu de S_a quand a décrit R.

4. Dans le cas de la section de (Cs) par le plan d’équation Z = k, on sait que ce sera encore une hyperbole. On obtient alors une autre équation de l’hyperbole : écrire la nouvelle équation de cette hyperbole. on peut étudier cette courbe dans le plan pour vérification. Pour k = 2, étudier la fonction  et construire sa représentation graphique ; retrouver l’hyperbole par symétrie

5. On peut chercher les équations des sections de (Cs) par les plans Pf ou Pv.

Étude expérimentale

Dans l’imagiciel le changement de repère s’effectue en appuyant sur la touche W ; l’affichage de la variable r permet de vérifier quel est le repère actif :

    r = 1 si l’on travaille dans le repère par défaut Rxyz

    r = 2 si l’on travaille dans le repère

Toutes les commandes décrites dans la partie 1 sont opérationnelles et permettent d’effectuer au fur et à mesure des visualisations des résultats théoriques ; en voici ci-dessous quelques exemples.

Conclusion

Dès lors que l’élève sait qu’une équation du type X² + Y² = Cste est l’équation d’une hyperbole, on peut alors justifier que la section du cône par un plan parallèle à son axe est une hyperbole.