1. Estimation, échantillonnage d’une moyenne

2. Estimation, échantillonnage d’une fréquence

3. Étude des fréquences

Considérons une population P d’effectif N, très grand, dans laquelle nous nous proposons d’étudier un caractère qualitatif C.
Désignons par X la variable aléatoire qui, à tout élément de P associe la valeur 1 si cet élément possède le caractère C et la valeur 0 s’il ne le possède pas. Soit p la fréquence ou le pourcentage du caractère C dans la population.

3.1. Constitution d’un échantillon

Prélevons, dans la population P, un échantillon aléatoire de taille n et désignons par K la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre des éléments qui possèdent le caractère C et par F la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe la fréquence f du caractère C.

3.2. Distribution d’échantillonnage des fréquences

Soit l’ensemble de tous les échantillons de taille n, issus de la population.
Les fréquences f₁, f₂, … f_i,… constituent une série statistique appelée distribution de fréquences.

Le théorème de la limite centrée permet alors d’énoncer le résultat suivant, noté (P₆) :

3.3. Estimation ponctuelle

Le biais sur la fréquence du caractère est l’erreur commise quand on remplace la fréquence, p, du caractère dans la population par la fréquence, f, du caractère observé sur un échantillon. C’est la variable aléatoire, notée e, définie par  e = p - F.
Alors E(e) = p - E(F). Or E(F) = p d’après (P₆ ), donc E(e) = 0.
Par suite f est un estimateur sans biais de p.

3.4. Intervalle de confiance

.

Si on fixe un seuil de risque a (donc un seuil de confiance 1 - a), il existe un réel unique t_a(que l’on détermine à l’aide de la table de la loi normale centrée réduite) tel que :

Or p est inconnu et intervient au niveau des bornes de son propre encadrement.

Une méthode consiste à remplacer p sous les radicaux par son estimateur sans biais qui est f.

.

Une autre méthode consiste à utiliser le résultat suivant :

Sur l’intervalle [0 ; 1] le produit  f(1-f) est maximal si 

L’élargissement de cet intervalle n’est considéré comme acceptable que si f est compris entre 0,3 et 0,7.
Dans le cas particulier où a = 0,05 on a  t_a » 1,96 que l’on peut majorer par 2.

Exercices

1. De quoi attraper le bourdon

On a mesuré la longueur de chacune des abeilles d’un échantillon de taille 100 pris aléatoirement parmi la population d’une ruche donnée. On a les résultats suivants :

Les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au centième le plus proche.

1) Calculer une approximation de la moyenne m et de l’écart type s de cet échantillon.

2) Estimer la moyenne et l’écart type de la longueur d’une abeille de la ruche.

3) On appelle L la variable aléatoire qui, à chaque abeille de cette ruche, associe sa longueur en mm. On admet que L suit une loi normale de moyenne m et d’écart type s que l’on pourra remplacer par sa valeur estimée.

a) On désigne par , la variable aléatoire qui , à chaque échantillon de taille 100, associe sa moyenne. Quelle est la loi de   ?

b) En utilisant les résultats obtenus pour l’échantillon étudié, déterminer un intervalle de confiance de la moyenne  m de la population au risque de 5%.

2. Toujours plus haut

On se propose d’ étudier, dans une population de grand effectif, la taille d’adolescents de 13 à 14 ans. On suppose que la variable aléatoire X donnant la taille d’un adolescent est une variable aléatoire gaussienne de moyenne m et d’écart type s.

1) Un échantillon de 36 adolescents choisis au hasard dans la population étudiée donne les résultats suivants :

Les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au dixième le plus proche.

2) Afin d’améliorer la connaissance de m, on décide d’augmenter la taille de l’échantillon. À partir de quel entier N₀ obtiendra-t-on un intervalle de confiance d’amplitude inférieure à 1 cm, avec le seuil de confiance 98% ?

3. Ballottage favorable

À la veille d’une consultation électorale opposant deux candidats, on a interrogé 400 électeurs constituant un échantillon de la population concernée par ce scrutin.
54% d’entre eux ont déclaré avoir l’intention de voter pour LAMER Michel.

1) On suppose que les opinions ne se modifient pas entre la date du sondage et celle du scrutin.

a) Déterminer, au risque 1%, la fourchette dans laquelle se situe la proportion du corps électoral favorable à LAMER Michel.

b) Peut-on considérer dans ces conditions, que LAMER Michel a 99% de chances d’être élu ?

2) Quelle devrait être la taille minimale de l’échantillon pour pouvoir affirmer, avec la même proportion d’électeurs favorables à LAMER Michel, que celui-ci a 99% de chances d’être élu ?