Il y a une vingtaine d’années, Mike Keane célèbre mathématicien américain, me montrait une très jolie démonstration de l’irrationalité de  qui, bien différente de l’approche classique, ne fait pas appel à la divisibilité. Plusieurs années plus tard nos chemins se croisèrent à nouveau au Chili. « Tu sais, me dit-il, ta démonstration de l’irrationalité de  me fascine! Où l’as-tu trouvée?”
Distraction? Confirmation que les mathématiciens sont bien souvent distraits. (Et si c’était moi qui étais dans la lune ???)

Voici donc cette preuve.
On observe d’abord que 1 <   < 2.
Supposant que  est rationnel, il existe un entier q ≥ 1 minimal tel que q appartienne à N. Considérons alors q’ = q - q < q. On remarque que

q’  = 2q - q appartient à N,

ce qui est absurde puisque 0 < q’ < q. CQFD

Dans une conférence de théorie des nombres à Kingston (Ontario) je discutais un soir avec Roger Apéry et Enrico Bombieri (titulaire de la médaille Fields). En plaisantant (?) ce dernier dit avoir démontré que l’équation diophantienne

n’avait aucune solution non triviale pour n ≤ 3.
Mais ajoutait-il en parodiant Fermat, la marge était trop petite pour reproduire la preuve.

Je signale que pour n = 2 il y a une infinité de solutions.
En effet :

Revenons à l’anecdote. Le lendemain matin, Apéry tout fier de lui montre à Bombieri la solution n = 3, x = 10, y = 16, z = 17. Méprisant, et sans doute vexé, Bombieri soutient que son théorème reste vrai car il affirmait qu’il n’y avait aucune solution non triviale. Celle d’Apéry était triviale !??

Cela laisse cependant une question qui peut être intéressante :
Y a-t-il une infinité de solutions pour n = 3 ? Y a-t-il des solutions pour n ≤ 4 ?