On prend un entier x non divisible par p et on considère les deux ensembles

E₁ = {1, 2, 3,  ..., p–1} et E₂ =  {x, 2x, 3x,  ..., (p–1)x}.

Ces deux ensembles sont égaux modulo p.

L'ensemble E₁ modulo p est trivialement constitué par tous les résidus possibles non nuls modulo p.

Quant à l'ensemble E₂, tous ses éléments sont différents modulo p : on ne peut pas avoir k x ≡ k' x (mod. p), ce qui équivaudrait à (k – k') x ≡ 0 (mod. p) alors que k – k' et x sont tous deux non nuls modulo p.

Conclusion : E₂ modulo p est lui aussi constitué par tous les résidus possibles non nuls modulo p (donnés dans un ordre différent), soit E₁ = E₂ modulo p (il s'agit bien d'égalité d'ensembles). Donc le produit de tous les éléments de E₁ est égal au produit de tous les éléments de E₂ :

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ (p – 1) ≡ x ∙ 2x ∙ 3x ∙ ... ∙ (p – 1)x  (mod. p),

soit

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ (p – 1) ≡ (1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ (p – 1))x^p  (mod. p).

On peut simplifier par (p – 1)! qui est premier avec p, et il reste  1 ≡ x^{p - 1}  (mod. p).