donne le compte du nombre de diagonales d'un polygone convexe à n côtés ;

donne le compte du nombre de points d'intersection, dans le cas où ils sont tous distincts, des diagonales d'un polygone convexe à n côtés (malgré le caractère "régulier" de la formule, ce n'est du tout évident !) ;

donne la somme 1 + 2 + ... + n des n premiers entiers (quand on connaît le résultat, ce n'est pas difficile à démontrer : il suffit de vérifier que
P₁(n) – P₁(n – 1) = n) ;

donne la somme 1² + 2² + ... + n² des carrés des n premiers entiers (quand on connaît le résultat, ce n'est pas difficile à démontrer : il suffit de vérifier que P₂(n) – P₂(n–1) = n²) ;

• etc.