On savait depuis les Grecs que 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25), que 12² + 5² = 13² (144 + 25 = 169), etc. Si on se réfère à l'équation générale x² + y² = z²,

on appelle cela des solutions d'une équation en nombres entiers (une équation « diophantienne » dans le jargon des mathématiciens – because Diophante d'Alexandrie (325 env. – 409) qui a étudié systématiquement ces problèmes).

Cette équation peut s'interpréter géométriquement : les 3 entiers x, y et z, qui constituent ce qu'on appelle parfois un « triplet de Pythagore », peuvent être pris comme les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.

Si on prend un exposant 3 ou 4 ou plus, au lieu de l'exposant 2, l'interprétation géométrique n'est plus possible mais on rentre au cœur de la théorie des nombres. Fermat a énoncé en 1651 que l'équation diophantienne xⁿ + yⁿ = zⁿ, ne possédait, pour n ≥ 3, aucune solution entière non triviale (i.e. autre que 0ⁿ + 0ⁿ = 0ⁿ ou 1ⁿ + 0ⁿ = 1ⁿ). Il a même affirmé qu'il savait le démontrer – mais il n'a pas donné sa démonstration (ou, c'est le plus vraisemblable, ce qu'il croyait être une démonstration). La démonstration de cette conjecture, abusivement appelée "grand" (ou "dernier") théorème de Fermat, recherchée avec passion par les professionnels et aussi par les amateurs pendant plus de 3 siècles, a été un extraordinaire ferment pour la recherche en théorie des nombres.

La démonstration, qui prend environ 200 pages, a été effectuée en 1994 par le mathématicien britannique Wiles (la conjecture s'appelle maintenant théorème de Fermat–Wiles) ; elle utilise des méthodes d'une grande abstraction et d'une haute technicité, complètement inconnues et même inimaginables à l'époque de Fermat.