Niveau

Première ou Terminale.

Prérequis

Utilisation d'un tableur.

Objectifs

Faire la liaison entre un problème géométrique et des calculs automatisés de longueur et d'aire.
Notions de suites et de limites.

Organisation pratique

Un ordinateur par élève ou par groupe de 2 élèves ; le professeur dispose d'une machine avec un moyen de projection sur grand écran (téléviseur ou vidéo projecteur). Les machines doivent disposer de Windows 3.1 ou ultérieur.

Sur chacune des machines est installé le logiciel fractal2 qui permet de réaliser automatiquement des tracés de fractales ; de plus les élèves ont accès à un tableur sur leur machine.

Description

Les élèves disposent d'une version courte du mode d'emploi.
Ils essayent les diverses possibilités comme indiqué dans le mode d'emploi (le vidéo-projecteur permet de leur montrer au fur et à mesure les différentes étapes) ; à la fin ils construisent une fractale de leur choix.
Pour terminer ils utilisent un tableur pour calculer, avec le flocon de Von Koch, à chaque étape, le nombre de segments, leur longueur, la longueur totale de la courbe. C'est très facile puisque d'une fois sur l'autre le nombre de segments est multiplié par 4 et le nombre de côtés par 3.
On peut alors regarder comment cela évolue et imaginer à l'infini.
On peut faire de même pour l'aire en remarquant qu'on ajoute à chaque étape autant de petits triangles qu'il y avait de segments à l'étape précédente et que l'aire d'un petit triangle est un neuvième de l'aire précédente. C'est plus intéressant car la limite de l'aire est finie.

Bilan

Cette séance a  été testée en classe en  première L. Le calcul des aires est un peu plus compliqué pour ces élèves mais cela est possible à condition de les guider pas à pas et de bien détailler bien chaque calcul.

Auteurs

Ce petit traceur de fractales a été conçu d'octobre à décembre 1995 par deux élèves particulièrement brillants pendant les heures d'option informatique au lycée Louis Barthou de Pau. Il était destiné à illustrer la manifestation scientifique " Aux frontières des mathématiques " qui s'est déroulée à Pau du 15 janvier au 15 février 1996 sur le thème : " Temps, ordre et chaos ".
Vu le peu de temps dont ont disposé ces élèves, certaines parties qu'ils comptaient développer n'ont pu arriver à terme (l'aide en particulier).

Mode d'emploi du logiciel fractal2

Un traceur de fractales du type : Flocon de Von Koch

Mettre en plein écran pour avoir des dessins les plus grands possibles.
Ouvrir l'un des fichiers existant (par exemple : KOCH.FRC)

Choisir dans Edit -> Paramètres d'animation un nombre de pas de déplacement important (plus il y a de pas, plus le déplacement est lent - cela dépend de la vitesse de l'ordinateur - ; au départ choisir un grand nombre de pas de l'ordre de 1000 à 5000 pour bien voir ce qui se passe).

Il y a 4 fenêtres :
- Deux fenêtres pour faire varier les paramètres : Base et Génératrice
- Deux fenêtres pour obtenir des dessins : Construction fractale et Fractale d'ordre…

1. Voir le dessin de la fractale

La fenêtre Construction fractale permet de voir le tracé pas à pas classique (jusqu'à 4 itérations). Cliquer sur pour démarrer la construction, puis sur pour obtenir les constructions suivantes. La génératrice remplace successivement chacun des segments existants. Remarque : le tracé s'accélère au fur et à mesure.
La fenêtre Fractale d'ordre… permet d'obtenir le tracé direct de la fractale à l'ordre désiré (jusqu'à l'ordre 7). Choisir avec la barre de défilement horizontal l'ordre désiré puis cliquer sur Ne pas hésiter à mettre la fenêtre de tracé en plein écran en particulier pour un ordre de tracé important.

2. Modifier la fractale

La fenêtre Base permet de choisir sur quel type de polygone on travaille (remarquer l'existence bizarre de " polygones à deux côtés ", la fractale se dessine de part et d'autre du segment). Pour changer le nombre de côtés utiliser l'ascenseur horizontal, on peut obtenir n'importe quel polygone régulier ayant entre 2 (!!!) et 32 côtés .

La fenêtre Génératrice : - on peut déplacer les points sur la grille (par "cliquer-glisser"), la grille est alors magnétique ; pour modifier le pas de la grille utiliser Edit -> Linéature Grille - ou faire un "double-clic" sur l'un des points existants, une boîte de dialogue s'ouvre qui permet * de modifier les coordonnées de ce point, et de le placer très précisément, par exemple lorsque c'est le 3ème sommet d'un triangle équilatéral, * de le supprimer, * d'insérer un nouveau point avant ou après le point sur lequel on a cliqué.

Ne pas oublier ensuite de cliquer sur dans la fenêtre Construction fractale pour que les modifications soient prises en compte.