Théorème de classement des rotations d'un pavage

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Théorème

Les rotations laissant D invariant ont nécessairement pour angle, au signe près, 180° , 120°, 90° ou 60°.

De plus, en supposant que D admette une rotation d'angle a parmi les angles ci-dessus, l'ensemble Ca des centres des rotations d'angle a laissant D invariant est constitué d'un réseau de points, aux sommets d'un pavage du plan par des triangles équilatéraux, des carrés ou des parallélogrammes, suivant la valeur de a.

Démonstration

Résultat 1

Si D est invariant par une rotation d'angle a, alors a est nécessairement égal à k.360/n °, où k est un entier relatif et n un entier naturel non nul, la fraction k/n étant irréductible. De plus D est alors aussi invariant par une rotation d'angle 360/n °.

Résultat 2

Si D est invariant par une rotation d'angle a, et si Ca est l'ensemble de tous les centres des rotations d'angle a laissant D invariant, alors Ca est lui-même invariant par toutes les rotations et toutes les translations laissant D invariant. De plus, pour tout point A de Ca, il existe un ou plusieurs points qui sont les plus proches de A parmi tous ceux de Ca.

Résultat 3

Si D est invariant par une rotation d'angle 360/n °, alors n=1, 2, 3, 4 , ou 6.

Démonstration du résultat 1

Soit donc r une rotation d'angle a laissant D invariant. Soit M un point du plan différent du centre de r. Les points r(M), r(r((M)), r(r(r((M))) etc sont tous de la forme f(M), avec f toujours élément de G,  f  étant successivement égal à r, ror, roror, etc.. Si a n'était pas de la forme k.360/n °, avec n entier naturel, tous ces points seraient distincts, ce qui contredirait l'hypothèse de discrétion. C'est donc que a est de la forme k.360/n °, avec n entier naturel non nul, et on peut faire en sorte que k et n soient premiers entre eux, en simplifiant la fraction.

On a alors une relation de la forme : u.k+ v.n=1. Alors D est invariant par la rotation de même centre que r et d'angle u.a.=(uk).360/n°= (360/n ­v.360)°. D est donc invariant par la rotation d'angle 360/n °.

Démonstration du résultat 2

Soit donc Ca l'ensemble de tous les centres des rotations d'angle a laissant D invariant, supposé non vide. Soit A un point de Ca et f une rotation ou une translation telle que f(D) = D. Il s'agit de démontrer que f(A) appartient à Ca, c'est-à-dire que la rotation r' de centre f(A) et d'angle a est telle que r'(D) = D.

Or, puisque A appartient à Ca, la rotation r de centre A d'angle  a  est elle-même telle que r(D) = D. En notant f* la transformation réciproque de f, on montre que r' = f o r o f*. (En effet f o r o f* est un déplacement associé à l'angle  a  et transformant f(A) en f(A)). On en déduit que r'(D) = D. Donc f(A) appartient à Ca. Ceci prouve l'invariance de Ca par f.

Par définition, Ca contient au moins un point A. Il contient donc un second point t(A), t étant une des translations de base de D. Soit alors E l'ensemble des points C de Ca tels que 0 < AC < At(A). E est un ensemble non vide. De plus, il est fini, de par l'hypothèse de discrétion. Il y a donc un ou plusieurs points dans E qui sont les plus proches de A, on pourrait dire les voisins de A. Ceci achève de démontrer le résultat 2.

Démonstrations du résultat 3

Soit donc D un dessin invariant par une rotation d'angle a = 360/n °. Il y a plusieurs façons de trouver les valeurs possibles de n. Soit A un point de Ca et B un point de Ca qui soit parmi les plus proches de A.

Première méthode

Supposons que n > 4. Alors 0 < a < 90°.

Notons r la rotation de centre de centre A et d'angle a, et r' la rotation de centre B et d'angle a.

Notons B' = r(B) et B" = r'(B '). Alors B" est dans Ca .

Notons C le cercle de centre A passant par B, et Q l'arc de cercle commençant à B, allant dans le sens direct, et ayant comme angle au centre 90°, cet arc étant ouvert (c'est-à-dire ne comprenant pas ses extrémités).

Puisque 0 < a < 90°, B' est dans Q. Donc B" est sur Q' = r'(E). Mais on peut montrer (et un dessin convainc vite) que Q' est dans le disque ouvert ayant C pour frontière. Donc AB" < AB. Mais B est un des points de Ca les plus proches de A, donc B" ne saurait être plus proche de A que B, sauf si B" = A. C'est donc que B" = A. Mais dans ce cas, on a successivement : AB = AB ', puis BB' = BB" = BA. On en déduit que ABB ' est un triangle équilatéral. D'où a = 60° et n = 6. Les seules possibilités sont donc : n = 1, 2, 3, 4 ou 6.

cqfd.

Deuxième méthode

On note R la rotation de centre B et d'angle a, et A' = R(A).

Alors A' est dans Ca . On en déduit que AA' > AB. S'ensuit : 2.AB. sin(a/2) > AB, puis sin(a/2) > 1/2. D'où a/2 > 30°, puis a > 60° d'où n < 6.

O suppose maintenant que n = 5.

Alors a > 72°. On considère le point A' défini comme ci-dessus, puis le point E, image de B par la rotation de centre A' et d'angle 72°. On peut montrer (et un dessin convainc vite) que E, qui est élément de Ca, serait à la fois distinct de A et plus proche de A que B. On aboutit donc à une contradiction. n = 5 est impossible. Les seules possibilités sont donc : n = 1, 2, 3, 4 ou 6.

cqfd.

Les résultats 1 et 3 prouvent que les seuls angles a possibles d'une rotation laissant D invariant sont 0°, 180° , 60°, 90° ou 120°.

De plus, comme d'après le résultat 2 Ca est invariant par toute rotation d'angle a et de centre un point appartenant à Ca , ainsi que par les translations du dessin, les points de Ca forment bien les sommets d'un pavage par des triangles équilatéraux, des parallélogrammes ou des carrés suivant la valeur de a.

Ceci achève de démontrer le théorème de classification des rotations.