Méthode pour classer les dessins bipériodiques

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L'outil principal pour le théorème 1 est le théorème 2.

En effet, ce dernier indique les dispositions possibles des centres des rotations d'angle a donné, a ne pouvant prendre qu'un nombre limité de valeurs (180° , 120°, 90°, ou 60°).

Le "treillis" des centres des rotations est également déterminé par rapport aux vecteurs minimaux u et v.

En effet, si A et B sont deux centres voisins de rotations du dessin, r et r' , d'angles respectifs a et (-a), la transformation composée r' o r est une translation du dessin, donc de vecteur k.u + l.v, que l'on peut également lier au vecteur AB.

En considérant maintenant deux symétries axiales s  et  s'  du dessin, la composée s' o s  est soit une translation, soit une rotation du dessin, ce qui permet de balayer l'ensemble des possibilités.

Il en va de même des composées  s o g , g o g , g' o g , où  s  est une symétrie axiale du dessin et  g et g' des glissages du dessin : ce sont des translations ou des rotations du dessin, ce qui permet aussi de limiter les possibilités.

En balayant d'abord toutes les possibilités pour les angles de rotations et pour les dispositions des centres de rotations correspondants (sans oublier qu'il peut y avoir plusieurs classes de rotations... mais on peut là aussi limiter le nombre de possibilités), puis, à l'intérieur de chacun des cas de cette classification par les rotations, en examinant toutes les possibilités pour les symétries axiales et les glissages, on peut établir la classification du théorème 1.