Vecteurs minimaux

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Relation d'ordre entre les couples de vecteurs

La relation d'ordre "£" que l'on considère entre les couples de vecteurs est la suivante :

(u,v) £ (u',v') signifie que la norme de u est strictement inférieure à celle de u', ou que u et u' ont même norme et que, de plus, la norme de v est inférieure ou égale à celle de v'.

Théorème

Si u et v sont des vecteurs de base du dessin bipériodique, alors toute translation tw du dessin est telle qu'il existe des entiers relatifs k et l avec : w = k.u+ l v.

La démonstration procède comme suit.

Soit w un vecteur quelconque tel que le dessin soit invariant par la translation de vecteur w. On décompose w dans la base (u,v) : w = x.u + y.v. On note k l'entier relatif le plus proche de x et de même l l'entier relatif le plus proche de y. Alors x' = x - k ; y' = y - l ont des valeurs absolues inférieures ou égales à 1/2. On pose w' = k.u + l v, puis w" = w - w ' = x".u + y".v. Le pavage est invariant par les translations de vecteurs u, v et w, donc aussi (par compositions) par celles de vecteurs w' et w".

En partant du fait que la norme de u est plus petite que celle de v [car (u,v) £ (v,u)], on démontre grâce à l'inégalité triangulaire (stricte) que la norme de w" est strictement inférieure à celle de v.

Si w" n'était pas nul, (u,w") serait un couple de vecteurs vérifiant les conditions, avec des normes plus petites que (u,v), ce qui est exclu.

C'est donc que w" est nul, et que w = w' = k.u + l v.

cqfd.