C. Drouin
Bordeaux, novembre 2002
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| 1. Généralités sur les pavages |
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| Équipe académique mathématiques C. Drouin Bordeaux, novembre 2002
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Au sommaire de cette page
A. Définitions
de base sur les pavages
B. Isométries - Quelques
pavages particuliers
C. Pavages périodiques
et non périodiques
D. Introduction aux pavages
bipériodiques du plan
A. Définitions de base sur les pavages
1. Frontière, intérieur, fermé
Nous avons besoin ici de quelques concepts assez intuitifs : ceux de frontière et d'intérieur d'un ensemble, et celui d'ensemble fermé.
Nous considérerons la notion de frontière d'un ensemble P comme acquise intuitivement : pour fixer les idées, la frontière de P est l'ensemble des points qui sont "au contact" aussi bien de E que de son complémentaire.
L'intérieur d'un ensemble P est l'ensemble des points de P qui ne sont pas sur sa frontière.
On dit qu'un ensemble P est un fermé lorsqu'il contient sa frontière F.
Exemple
Soit P la réunion d'un disque ouvert et d'un demi-périmètre de ce disque.
La frontière de P est le cercle en son entier.
L'intérieur de P est le disque ouvert (sans le cercle).
P n'est pas fermé puisqu'il ne contient pas sa frontière.
2. Pavage
Soit E un ensemble. On dit que des sous-ensembles de E réalisent un pavage de E si les conditions suivantes sont réunies :
- Chacun de ces sous-ensembles est un fermé d'intérieur
non vide.
- La réunion de ces sous-ensembles est égale à E.
- Deux quelconques de ces sous-ensembles ont toujours une intersection
vide, ou une intersection contenue dans leur frontière.
Si des sous-ensembles de E réalisent un tel pavage de E, on les appelle des pavés.
En général, l'ensemble E qui est pavé est le plan. Mais E peut-être aussi une bande dans le plan (cas des frises), la surface d'une sphère ou l'espace à trois dimensions.
B. Isométries - Quelques
pavages particuliers
1. Définitions
Pavés isométriques
On dit que deux pavés sont isométriques si l'on peut passer de l'un à l'autre par une isométrie. En langage plus élémentaire, ceci veut dire que ces deux pavés sont "superposables".
Pavages réguliers et semi-réguliers
On dit qu'un pavage est régulier si tous les pavés sont isométriques (superposables). Autrement dit, tous les pavages sont du même modèle.
On dit qu'un pavage est semi-régulier lorsqu'il y a un nombre fini de modèles de pavés. Autrement dit, lorsqu'il existe des pavés P1, P2, ... , Pn, tels que tout pavé du pavage est superposable à l'un de ces n pavés.
Recherche et démonstration
Trouver tous les pavages possibles du plan par des polygones réguliers inscriptibles.
Isométries du pavage
On dit qu'une isométrie f est une isométrie du pavage, ou encore que f laisse le pavage globalement invariant, si pour tout pavé P du pavage, f(P), son ensemble image par f, est encore un pavé du pavage.
Analyse de dessin
Pour différents pavages du plan, trouver les isométries du pavage.
Pavage polygonal sommital
On appelle pavage polygonal sommital du plan un pavage du plan par des polygones réguliers inscriptibles vérifiant les conditions suivantes :
- Si un sommet S d'un polygone P du pavage, appartient à un autre polygone P' du pavage, alors S est un sommet de P' (et jamais un point d'un côté de P' qui ne soit pas un sommet). [On pourrait donner une figure contre-exemple ; voir "Le monde des pavages", page 13, à droite en bas].
- Si on considère, dans ce pavage, deux sommets quelconques S et S' de polygones, il existe toujours une isométrie f du pavage telle que f(S) = S'.
Recherche et démonstration
Trouver tous les pavages polygonaux sommitaux du plan.
Voir "Lle monde des pavages", pages 13 à 15, ou le site Totally Tesselated.
Méthode : trouver les configurations possibles en un sommet, et voir, pour chacune d'elles, si elle peut se retrouver isométriquement en chacun des sommets.
Analyse de dessin
Pour ces pavages polygonaux sommitaux, trouver les isométries laissant le pavage invariant.
2. Théorème : groupe d'isométries d'un pavage
L'ensemble de isométries d'un pavage P est un groupe pour la composition des isométries.
3. Pavages totalement-réguliers
On dit qu'un pavage est totalement-régulier si pour tout couple (P , P') de deux pavés du pavage, il existe une isométrie du pavage, f, telle que f(P) = P'.
Tout pavage totalement-régulier est donc aussi régulier, mais il existe des pavages réguliers qui ne sont pas totalement-réguliers.
Recherche et analyse de dessins
Donner des exemples de pavages réguliers mais non totalement-réguliers.
C. Pavages périodiques et non périodiques
1. Pavages périodiques et bipériodiques
On dit qu'un pavage est périodique s'il admet comme isométrie une translation.
On dit qu'il est bipériodique s'il admet comme isométries deux translations de vecteurs non colinéaires.
Les pavages périodiques et bipériodiques font l'objet des fiches suivantes.
2. Pavés interdisant la périodicité
Les mathématiciens ont recherché des modèles de pavés tels qu'aucun pavage du plan semi-régulier avec ces modèles de pavés ne puisse être périodique. Roger Penrose a trouvé la solution la plus simple, avec deux modèles de pavé seulement, construits à partir d'un angle de 36°.
Voir sur ce site la séquence de présentation des pavages de Penrose, destinée aux classes TL.
On pourra aussi consulter la page (en anglais) :
http://www.scientium.com/drmatrix/progchal.htm.
Voir aussi la page de liens sur les pavages de Penrose.
D. Introduction aux pavages bipériodiques
du plan
Les pavages bipériodiques font l'objet des fiches 3.1 à 3.5.
On peut déjà donner quelques définitions.
Pavage minimal / Pavé minimal
On dit qu'un pavage totalement-régulier est minimal, ou encore que son pavé est minimal, si pour tout pavé P du pavage et pour tout couple (f, g) d'isométries distinctes du pavage, f(P) est différent de g(P).
Contre-exemple
Considérons un pavage P du plan par des parallélogrammes. Ce pavage est invariant par toute symétrie centrale S, de centre le centre d'un parallélogramme du pavage, ainsi évidemment que par l'application identique I. Or on a : S(P)=I(P)=P. Ce pavage n'est donc pas minimal. En revanche, si on découpe suivant une diagonale chacun des parallélogrammes (supposés ni rectangles, ni losanges), on obtiendra un nouveau pavage dont le pavé sera minimal.
Nous préférons le concept d'ensemble minimal à celui de pavage minimal. Voir les fiches suivantes.
Réalisation de frises ou de pavages artistiques : pavages décorés
Avec un minimum de connaissances, il est facile de réaliser des frises ou des pavages où le pavé est décomposé en plusieurs zones de couleurs différentes, qui forment alors des motifs en se juxtaposant. Ils peuvent être très jolis, mais ne peuvent guère être figuratifs ; les formes sont uniquement géométriques. [Voir le paragraphe ci-dessous]. Pour savoir faire des pavages décorés, on consultera les fiches 2. (frises), 3.2, 3.3, 3.4.
Pavages figuratifs
On dit qu'un pavage est figuratif , ou à motif figuratif, lorsque le contour même du pavé représente une forme familière : géométrique, végétale, animale, humaine... Ce sont les pavages les plus artistiques. Ceux d'Escher constituent sans doute le sommet de cet art.
Pour s'initier aux pavages figuratifs, voir les fiches 3.2, 3.5. (pavages du plan) et 2. (frises).
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