Articulation école-collège

1. Une place centrale pour la résolution de problèmes

À l’école primaire, comme au collège, la résolution de problèmes est placée au centre de 1'activité mathématique des élèves. Les deux programmes mettent 1'accent sur les mêmes objectifs et proposent des compétences voisines, par exemple:

-  « capacités à chercher, abstraire, raisonner, prouver » au cycle 3 et « capacités de raisonnement : observation, analyse, pensée déductive » en sixième ;

-  « faire des hypothèses et les tester » au cycle 3 et « conjecturer un résultat » en sixième ;

-  « argumenter à propos de la validité d'une solution » au cycle 3 et « bâtir une argumentation » en sixième ;

-  « vérifier les résultats obtenus et formuler une réponse dans les termes du problème » au cycle 3 et « contrôler les résultats obtenus et évaluer leur pertinence en fonction du problème étudié » en sixième.

Au cycle des approfondissements, comme au collège, la résolution de problème permet la construction et l’appropriation de nouvelles connaissances et favorise la compréhension des notions et des techniques. Le programme du cycle 3 précise : « La résolution de problèmes est au centre des activités mathématiques et permet de donner leur signification à toutes les connaissances qui y sont travaillées : nombres entiers et décimaux, calcul avec ces nombres, approche des fractions, objets du plan et l’espace et certaines de leurs propriétés, mesure de quelques grandeurs ». Le domaine numérique n'est donc pas le seul concerné.

À l’école primaire, différents types de problèmes sont identifiés, avec des fonctions différentes :

- les problèmes d’application et de réinvestissement sont destinés à permettre l’utilisation des connaissances ;

- les problèmes « complexes » offrent l’occasion de mobiliser plusieurs connaissances mathématiques dans des situations proches de la vie de l’élève, effectivement vécues par la classe ou en relation avec d'autres domaines de savoir ; ces problèmes demandent aux élèves d’organiser une démarche raisonnée, de poser des étapes intermédiaires, de programmer des calculs, des constructions ;

- les problèmes de recherche, pour lesquels les élèves ne disposent pas de solution experte ont pour objectif le développement d'une attitude de recherche et/ou la construction d'une nouvelle connaissance.

La même classification peut être retenue pour le collège, en précisant que selon le moment où il est proposé aux élèves, un même problème peut avoir l’une ou l'autre des fonctions indiquées.

Sur le long temps de l'apprentissage, ces problèmes sont d’abord résolus à l'aide de procédures personnelles, avant d’être résolus par des procédures expertes.

Introduction générale pour le collège

3.1. Une place centrale pour la résolution de problèmes

La compréhension et l'appropriation des connaissances mathématiques reposent sur l'activité de chaque élève qui doit donc être privilégiée. Pour cela, et lorsque c'est possible, sont choisies des situations créant un problème dont la solution fait intervenir des " outils ", c'est-à-dire des techniques ou des notions déjà acquises, afin d'aboutir à la découverte ou à l'assimilation de notions nouvelles. Lorsque celles-ci sont bien maîtrisées, elles fournissent à leur tour de nouveaux " outils ", qui permettent un cheminement vers une connaissance meilleure ou différente. Ainsi, les connaissances peuvent prendre du sens pour l'élève à partir des questions qu'il se pose et des problèmes qu'il résout. Les situations choisies doivent :

●  prendre en compte les objectifs visés et une analyse préalable des savoirs en jeu, ainsi que les acquis et les conceptions initiales des élèves ;

●  permettre un démarrage possible pour tous les élèves, donc ne reposer que sur des consignes simples et n'exiger, au départ, que des connaissances solidement acquises par tous ;

●  créer rapidement un problème assez riche pour provoquer des conjectures ;

●  rendre possible la mise en jeu, puis la formulation des notions ou des procédures dont l'apprentissage est visé ;

●  fournir aux élèves, aussi souvent que possible, des occasions de contrôle de leurs résultats, tout en favorisant un nouvel enrichissement ; on y parvient, par exemple, en prévoyant divers cheminements qui permettent de fructueuses comparaisons.

Si la résolution de problèmes permet de déboucher sur l'établissement de connaissances nouvelles, elle est également un moyen privilégié d'en élargir le sens et d'en assurer la maîtrise. Pour cela, les situations plus ouvertes, dans lesquelles les élèves doivent solliciter en autonomie les connaissances acquises, jouent un rôle important. Leur traitement nécessite initiative et imagination et peut être réalisé en faisant appel à différentes stratégies qui doivent être explicitées et confrontées, sans nécessairement que soit privilégiée l'une d'entre elles.