L’objectif de cet atelier était d’établir les difficultés rencontrées par les élèves sur ce thème et de réfléchir aux différentes façons de travailler le calcul littéral en classe.

Dans un premier temps, à partir de l’exercice de calcul littéral du DNB 2007, nous avons échangé sur les différentes productions rencontrées lors de la correction et essayé d’établir les difficultés qu’avaient eu les élèves. A partir de là, nous avons identifié les différents statuts de la lettre et du signe d’égalité rencontrés dans cet exercice.

Les différents statuts de la lettre :

•  De la question 1) à la question 3)a) il n’y a pas de lettre mais la notion de variable est sous-jacente.  Le programme de calcul est une fonction et les nombres -2 ;  5 ainsi que les deux nombres choisis à la question 3)a) sont des valeurs attribuées à la variable.

•  A la question 3)b) les élèves doivent, de leur propre initiative, introduire une lettre qui aura elle aussi le statut de variable.

•  Ensuite, il s’agit d’appliquer la distributivité pour développer puis de reconnaître une identité remarquable pour la factoriser : la lettre prend alors le statut d’indéterminée.

•  Enfin, dans la question 4), il s’agit de résoudre une équation, la lettre prend donc le statut d’inconnue. 

Les différents statuts du signe d’égalité:

•  Aux questions 1), 2) et 3) a) le signe d’égalité est utilisé pour annoncer un résultat.

Il est à noter que jusque-là les calculs peuvent se faire séparément ligne par ligne.

•  A la question 3) b) le signe d’égalité est utilisé pour traduire une identité : « il signifie alors que quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres, les valeurs retournées par les deux expressions figurant de part et d’autre du signe « = » sont égales. » (Extrait du doc d’accompagnement – du numérique au littéral – page 2).

Les élèves doivent écrire le calcul donné par le programme sous forme d’une expression en une seule ligne.

•  Enfin, à la question 4) le signe d’égalité est utilisé dans l’écriture d’une équation.  « Il acquiert un statut en rupture avec l’utilisation qui en était faite jusque-là. Il apparaît dans un énoncé dont on se demande s’il peut être rendu vrai. » (Extrait du doc d’accompagnement – du numérique au littéral – page 2).

Dans un deuxième temps, nous avons analysé différents extraits de manuels de 4^e qui partent tous de la situation du carré bordé. La plupart des auteurs de manuels ont choisi d’exploiter cette situation présentée dans le document d’accompagnement, mais probablement dû à la difficulté de formuler des consignes écrites, le problème est en général verrouillé et perd ainsi de son intérêt (l’utilisation de la  lettre est « imposée » dans le texte). En fait, cette situation pourrait permettre d’aborder le calcul littéral dès la classe de 6^e, l’apprentissage du calcul littéral se poursuivant progressivement tout au long du collège.

Pour finir, nous nous sommes demandés comment travailler les compétences sur le calcul littéral

Dans la cadre du socle commun il est important de proposer des exercices où la méthode n’est pas imposée. L’élève doit pouvoir résoudre le problème sans être obligé de recourir à une résolution algébrique.

Néanmoins, l’enseignant doit aussi proposer des activités qui font percevoir l’intérêt et la puissance du calcul littéral. Dans ce cas, il est important que le problème ne puisse être résolu de façon arithmétique.

De plus, l’utilisation de la lettre ne doit pas être systématiquement imposée comme c’est trop souvent le cas dans les manuels scolaires. Il faut laisser l’initiative aux élèves.

On peut également proposer des exercices où le calcul littéral est nécessaire pour démontrer.