mise à jour 05 décembre 1999
Il sagit de présenter de manière dynamique la notion daxe de symétrie dune figure.
Lexpérience prouve que la présentation par des moyens classiques au tableau est difficile à mettre en uvre et parfois trop peu parlante pour les élèves. Lutilisation de lordinateur en classe, en " tableau électronique " permet daméliorer la présentation de cette notion.
La séquence présentée prend place après létude de la symétrie axiale et des propriétés classiques de conservation. Les élèves connaissent également les figures transformées des figures de base par symétrie axiale.
Lessentiel du travail présenté pendant la séquence porte sur les triangles isocèles. On utilise le logiciel GeoplanW (Fichier trisocel .g2w)
Lactivité débute par la présentation de deux
triangles isocèles (fig. 1). La nature de ces triangles nest pas révélée aux élèves. Le triangle ABC est dessiné en vert, le triangle DEF est dessiné en rouge. Les côtés de ces triangles nont aucun point commun pour linstant. |
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Une discussion sengage pour conjecturer :
La vérification des ces conjectures peut entraîner des mesures de longueurs à laide de la règle graduée ou dangles à laide du rapporteur.
On peut utiliser les commandes au clavier :
Lorsque ces longueurs et ces angles sont affichés, on fait remarquer :
Pour terminer cette première partie, on pilote le triangle ABC pour que les deux triangles soient effectivement superposés. Enfin, on dissocie de nouveau les deux triangles.
Il doit alors se dégager lidée que le triangle rouge est obtenu à partir du vert par une symétrie axiale. (La seule "transformation" connue des élèves de 6ème )
On demande alors aux élèves comment ils vont trouver laxe de cette symétrie. Cette recherche fait appel à lidentification des points qui doivent se correspondre par la symétrie en question. De nombreuses notions déjà vues dans les leçons précédentes doivent pouvoir être réutilisées.
En particulier, le cas de figure ou deux côtés des
triangles ABC et DEF se coupent permettent de retrouver la propriété que possèdent des
droites symétriques de se couper sur laxe de symétrie. Suivant lorientation que prennent les débats, on construira (ou on demandera à un élève de le faire) une médiatrice ou une droite passant par les points dintersection de deux côtés. La figure peut alors se présenter ainsi (fig. 2): |
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La phase suivante consiste à mettre en évidence comment se comporte laxe de symétrie lorsque les triangles superposables sont effectivement superposés.
On pilote alors le triangle ABC pour superposer à nouveau les deux triangles, et on
fait constater alors que laxe de symétrie est alors devenu une droite remarquable
du triangle ABC isocèle en C : la médiatrice de la base [AB].
Le triangle ABC ainsi obtenu est donc son propre symétrique dans
la symétrie ayant pour axe la médiatrice de sa base [AB]. (fig.3)
Il sagit maintenant de trouver laxe de symétrie sans modifier comme précédemment le triangle ABC, cest à dire laxe de symétrie dun triangle iscocèle donné.
On fait alors apparaître deux poignées P1 et P2 sur la
médiatrice, en utilisant la commande A au clavier. (fig. 4) Le déplacement des poignées P1 et/ou P2 permet alors de superposer les deux triangles sans modifier le triangle ABC, et par conséquent DEF (fig.5) On a donc bien trouvé laxe de symétrie DU TRIANGLE ABC isocèle en C donné. |
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Pour montrer que lexistence de laxe de symétrie est bien lié à la nature du triangle ABC, on va faire apparaître un élément supplémentaire dans la figure et examiner leffet de cette adjonction sur lexistence de laxe de symétrie.
La commande x , combinée avec lutilisation des touches
fléchées du clavier, permet de "dédoubler" les côtés du triangle ABC. On obtient alors la figure ci-contre : La figure verte et la figure rouge ont les mêmes
dimensions. Elles sont superposables. |
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Le prolongement est naturellement la recherche sur papier de laxe de symétrie
dun triangle isocèle.Un document préparé à lavance est distribué alors
aux élèves.
Lélève dispose dun triangle ABC isolèle en C .On demande de construire la
médiatrice de la base [AB], et de vérifier que la figure symétrique de ce triangle par
raport à cette médiatrice d est le triangle ABC lui-même.
On peut à cette occasion réinvestir des acquis antérieurs : définition de la
symétrie, propriétés de la médiatrice dun segment, pliage autour de la
médiatrice, etc
Prolongements de lactivité.
On a opéré sur des triangles icocèles. On aborde le même travail pour un triangle scalène ABC, pour faire constater labsence daxe de symétrie.
(Fichier triangle.g2W)
Des commandes permettent de rendre ce triangle :
On passe ensuite à des figures plus complexes :
Pour chacune de ces études, on préparera la figure de départ, pilotable par un nombre variable de poignées, sa figure symétrique par rapport à une droite P1P2 pilotable, comportant les commandes daffichage nécessaires.