Approche rationnelle de

Il ne serait sans doute pas opportun de se lancer dans la construction des nombres réels ni dans leur approximation par des rationnels. On peut, néanmoins, essayer de faire comprendre à nos élèves ce que nous appelons " la densité de Qdans R". Le nombreet l'algorithme de Héron se prêtent très bien à cette initiation. Voici une activité qui peut se mener dès le collège et dont la justification analytique, par exemple en utilisant la méthode de Newton, se fera en lycée.

On définit une suite par son premier terme 1, et par la relation de récurrence suivante : si x est un terme de la suite, le suivant sera . Les élèves calculent les premiers termes de la suite et comparent leurs carrés au nombre 2.

Sur une calculatrice " de base ", on utilise la mémoire pour stocker les termes successifs : on commence par mettre 1 en mémoire (par exemple avec une instruction du type : 1 Min) puis on tape à chaque fois la suite d'instructions : ( MR + 2 / MR) / 2 = Min (où MR désigne le rappel du nombre stocké en mémoire). C'est laborieux mais efficace. Avec les modèles qui l'admettent, on fait afficher les résultats directement sous forme fractionnaire.

Sur les machines possédant la touche ANS qui permet de réutiliser directement le dernier nombre calculé, on procède différemment. On entre 1 ENTER (ou EXE) puis la suite d'instructions : ( ANS + 2 / ANS ) / 2 puis ENTER. On obtient les termes suivants en appuyant autant de fois que nécessaire sur ENTER. Cette méthode utilisant la touche ANS (qui est déjà une forme de programmation) peut être appliquée pour toute suite définie par une relation de récurrence simple (c'est-à-dire portant sur un seul terme).

En lycée, les élèves ont souvent des calculatrices qui possèdent des fonctions préprogrammées pour calculer les termes d'une suite récurrente et/ou des calculatrices programmables ; c'est une bonne occasion pour qu'ils progressent dans la connaissance de leur machine.

Ce qui a été fait pour 2 peut bien sûr l'être pour n'importe quel nombre positif k en utilisant la suite définie par la relation de récurrence : , le premier terme étant rationnel (ou entier) voisin de (pour accélérer la convergence).