s'écrira
la plupart du temps 
sera
écrit 
.
n°3, mai 1997
Il a toujours été considéré comme " normal " qu'un élève donne le résultat d'un calcul comportant des racines carrées avec un dénominateur entier : on appelle cela " rendre rationnel " un dénominateur par la très célèbre " multiplication par l'expression conjuguée du dénominateur ".
Ainsi s'écrira
la plupart du temps sera
écrit .
Quelle est la justification de cette transformation d'écriture ?
Si on sait que 1,414 < 
<
1,415, il sera beaucoup plus facile de calculer à la main 
et
que
et
.
Si l'on travaille avec une calculatrice, le gain est moins visible mais le
fait de calculer évite
de se poser trop de questions sur le nombre de chiffres significatifs du quotient
.
Sans parler du sens des inégalités qu'il ne faut pas oublier de changer ! Bref,
on ne voit que des avantages à avoir un dénominateur entier. Et pourtant...
Voyons un effet " pervers " de la multiplication par l'expression conjuguée, en prenant un exemple bien choisi.
On considère le nombre 
.
Commençons par encadrer A (à la calculatrice) en utilisant des encadrements
de
à 10-1, puis à 10-2, puis à 10-3 près. On obtient
successivement : 9,4 < A < 9,8, puis 9,68 < A < 9,73, puis 9,702
< A < 9,707.
Transformons l'expression de A pour que son écriture ait un dénominateur entier
: A = 40 (3 -
4). Encadrons maintenant le nombre A à partir de cette nouvelle écriture,.
On obtient : 8 < A < 20, puis 9,2 < A < 10,4 , puis 9,68 < A < 9,80.
Quelle déception ! L'encadrement de à 10-2 près ne donne même pas la partie entière du résultat et celui à 10-3 ne donne pas sa première décimale.
L'étude des fonctions 
au
voisinage de
que l'on peut visualiser sur des calculatrices graphiques) donnera l'explication
: une petite variation de x pour la première fonction donne une petite variation
de f (x) tandis que c'est tout le contraire pour la seconde (qui est représentée
par une droite de coefficient directeur 120).