Arithmétique et musique

, Applications des mathématiques Yves Tastet, professeur au lycée Gustave Eiffel de Bordeaux n°5, mars 1998

Comment créer une gamme, c’est-à-dire une échelle de hauteurs de sons ayant entre eux des rapports harmonieux afin que leur émission successive ou simultanée puisse composer des mélodies et des harmonies agréables à l’oreille ? Tel est le problème posé depuis toujours aux théoriciens et praticiens de la musique.

Un tout petit peu de physique

La hauteur d’un son est déterminée par sa fréquence, inversement proportionnelle à sa longueur d’onde, elle-même directement liée à la longueur de la corde vibrante ou du tuyau (d’orgue ou d’instrument à vent) dans lequel vibre l’air. Un son naturel (non électronique) est toujours composé d’un son fondamental (vibration de fréquence N) et d’harmoniques plus aiguës dont la fréquence est un multiple de N. Une expérience simple permet de s’en rendre compte : frapper une corde grave d’un piano met en vibration de nombreuses cordes plus aiguës - si les étouffoirs sont levés ! Ces notes ont bien sûr un rapport particulièrement harmonieux avec la fondamentale.

L’octave

La plus importante des harmoniques est, bien sûr, la première, de fréquence 2N. Les deux sons se fondent tellement bien ensemble qu’on leur donne le même nom : par exemple do et do, ré et ré… Leur intervalle s’appelle une octave, on verra pourquoi plus tard. Mais on conçoit bien qu’avec seulement des do de différentes hauteurs, les possibilités mélodiques et harmoniques sont trop limitées. D’autant plus qu’un être humain peut rarement chanter plus de deux do différents.

La quinte

On est donc conduit à utiliser la deuxième harmonique, de fréquence 3N. Sa distance à la fondamentale étant très grande, on va ramener cette note à celle qui a le même nom une octave en dessous. La fréquence de cette dernière est la moitié de celle de son homonyme, donc 3/2 N. L’intervalle qu’elle détermine avec la fondamentale s’appelle une quinte que je qualifierai de parfaite. C’est un intervalle inférieur à l’octave puisque : N < 3/2 N < 2N.

La gamme de Pythagore

À partir d’un do de fréquence N on obtient, une quinte au-dessus, un sol de fréquence 3/2 N, puis encore une quinte au dessus, un ré de fréquence 3/2 x 3/2 N = 9/4 N puis un la = 27/8 N, un mi = 81/16 N et un si = 243/32 N. Pour composer une gamme dite de do majeur, on ne continue pas mais on va chercher un fa une quinte au-dessous du do donc à une fréquence 2/3 N. Pour avoir toutes les notes de la gamme dans l’intervalle d’une octave entre N et 2N, il faut remonter ce fa d’une octave, descendre le ré et le la d’une octave et le mi et le si de deux octaves. On trouve alors dans l’ordre ascendant des hauteurs : do = N ; ré = 9/8 N ; mi = 81/64 N ; fa = 4/3 N ; sol = 3/2 N ; la = 27/16 N ; si = 243/128 N et do = 2N.

C’est la gamme majeure pythagoricienne. Entre do et ré, ré et mi, fa et sol, sol et la, la et si, on trouve un ton pythagoricien, multiplication de la fréquence par 9/8. Entre mi et fa puis entre si et do, on trouve un demi-ton pythagoricien, multiplication de la fréquence par  256/243.

On comprend maintenant l’origine du mot octave (intervalle entre le 1er et le 8ème degré de la gamme) et du mot quinte (intervalle entre le 1er et le 5ème degré). On remarque l’habitude des anciens de compter les " piquets" à la place des intervalles. Cette façon de compter pose bien sûr des problèmes d’addition : une octave rallongée d’une quinte (c’est-à-dire une multiplication de la fréquence par 2 x 3/2 = 3) est une douzième et non une treizième !

La tierce

L’utilisation d’accords de trois sons aux noms différents, pour enrichir l’harmonie, amène à s’intéresser aux harmoniques supérieures de notre fondamentale. La troisième harmonique, de fréquence 4N, n’apporte rien de nouveau : elle est à une double octave au-dessus de la fondamentale et porte le même nom. En revanche la quatrième harmonique, de fréquence 5N, encore nettement perceptible à l’oreille, est digne d’intérêt. Redescendue de deux octaves pour se trouver entre N et 2N, elle donne la fréquence 5/4 N en rapport particulièrement harmonieux avec la fondamentale. L’intervalle déterminé par ces deux notes s’appelle une tierce majeure que je qualifierai de parfaite puisque l’accord constitué par ces deux notes et la quinte parfaite s’appelle accord parfait majeur. Cette note n’apparaît pas dans la gamme de Pythagore où tous les rapports de fréquence sont dans le groupe multiplicatif  , sous-groupe de (Q*, ? ) engendré par 2 et 3, auquel ni 5 ni 5/4 n’appartiennent. Mais elle est voisine, légèrement plus basse, du mi = 81/64 N  de la gamme de Pythagore puisque 5/4 = 80/64. Il est donc tentant de remplacer l’ancien mi de Pythagore par celui-ci " qui sonne mieux".

La gamme de Zarlino

Pour privilégier l’accord parfait majeur, Zarlino (1558) garde le fa, le do, le sol et le ré de la gamme de Pythagore mais modifie les trois autres notes pour former trois accords parfaits majeurs sur fa, do et sol, appelées notes tonales de la gamme. On a donc : do = N ; ré = 9/8 N ; mi = 5/4 N ; fa = 4/3 N ; sol = 3/2 N ; la = 5/4 x 4/3 N = 5/3 N ; si = 5/4 x 3/2 N = 15/8 N et do = 2IN.

Dans cette gamme, il y a des "grands tons" ou tons pythagoriciens entre do et ré, fa et sol, la et si (multiplication de la fréquence par 9/8), et des "petits tons" entre ré et mi puis sol et la (multiplication de la fréquence par 10/9). Entre mi et fa puis si et do, on trouve un "demi-ton de Zarlino" : multiplication de la fréquence par 16/15, fraction nettement plus simple que 256/243. Ces différences s’entendent nettement par une oreille tant soit peu exercée. La gamme de Zarlino n’a pourtant pas que des avantages : si elle conserve des quintes parfaites entre do et sol, mi et si, fa et do aigu, sol et ré aigu, la et mi aigu, elle diminue légèrement l’intervalle entre ré et la qui n’est plus qu’un rapport de 40/27 < 3/2.

La gamme tempérée

La justesse absolue n’existe donc pas. Quant au problème de l’accord du clavier (qui doit pouvoir jouer tant bien que mal plusieurs gammes différentes), il a reçu au cours du temps d’innombrables solutions. Pour que toutes les tonalités sonnent aussi bien (ou aussi mal) on adopte depuis deux siècles le tempérament égal : l’octave est divisée en 12 "demi-tons tempérés" égaux correspondant à un rapport de fréquence de , un ton correspond (pour la première fois) à deux demi-tons donc à un rapport de fréquences de . N’importe quelle calculatrice vous montrera que :  et . C’est donc une bonne approximation mais aucune oreille ne peut entendre exactement des rapports de fréquences irrationnels ! Et dans la gamme tempérée, aucune quinte ni aucune tierce n’est parfaite puisque, élevée à une puissance strictement inférieure à 12,   ne donnera jamais un résultat rationnel (exercice laissé au lecteur).

Rien n’est simple et le mieux est l’ennemi du bien ! Mais en aucun cas cet article ne prétend démontrer la supériorité de la musique tonale sur les musiques atonales ou extra-européennes !