Arithmétique au collège

, Programmes n°10, décembre 1999

L’introduction de l’arithmétique dans les nouveaux programmes de 3e s’inscrit dans un travail continu tout au long du collège à propos de la division euclidienne et des nombres en écriture fractionnaire. Elle s’intègre dans une première synthèse sur les nombres, intéressante tant du point de vue de l’histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves. L’idée est en effet d’installer progressivement les différents types de nombres accompagnés d’images mentales liées à leur représentation sur un axe.

En 6e, l’élève consolide ses acquis sur la division euclidienne tout en la reliant aux problèmes d’encadrements d’un entier par des multiples d’un entier. Il aborde certains critères de divisibilité pour reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d’un même nombre.

Au cycle central, à travers la résolution de nombreux problèmes, l’élève approfondit ses connaissances sur les nombres en écriture fractionnaire. Il doit, en fin de 4e, maîtriser les quatre opérations sur ces nombres. Les activités sont l’occasion d’aborder les notions de multiples communs et de diviseurs communs à deux entiers. La forme irréductible n’est ni à rechercher, ni à exiger à ce niveau d’enseignement. On peut aussi, en lien avec la distributivité, entraîner les élèves à conjecturer et à prouver quelques résultats simples : somme de deux multiples d’un même nombre, somme de deux nombres pairs, de deux nombres impairs, carré d’un nombre pair… On prépare ainsi le travail sur les fractions irréductibles pour la classe suivante.

En 3e, l’élève affine sa maîtrise des fractions : il doit savoir reconnaître si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. Les exercices proposés ne nécessitent pas le recours à la notion de nombre premier, qui avait été retirée des programmes en raison des abus de technicité qu’elle pouvait susciter. L’algorithme d’Euclide peut être avantageux dans le cas de très grands nombres et favoriser un recours formateur aux tableurs et aux calculatrices. Il convient de souligner que, dans toutes les activités, la pratique du calcul mental doit être prédominante : la réduction d’une écriture comme 36 / 48 peut être réalisée rapidement, l’utilisation consciente de la seule égalité k a / k b = a / b (éventuellement plusieurs fois) étant suffisante.

Les nombres premiers et la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers seront introduits dans les programmes de seconde applicables à partir de la rentrée 2000. Ainsi, l’enseignement de l’arithmétique doit être l’occasion d’explorer, du collège au lycée, différents types de raisonnement : raisonnement déductif, raisonnement par disjonction des cas, raisonnement par l’absurde, infirmation par mise en évidence d’un contre-exemple…