Et j’en dirais, et j’en dirais, tant fut cette belle aventure…

, Culture Denis Guedj, Professeur d’Histoire des Sciences, auteur de romans et d’ouvrages sur les mathématiques et leur histoire n°10, décembre 1999

Débuter le récit de l’espace et la geste des figures par une phrase aussi énigmatique que celle qu’Euclide déposa à la base des Éléments et que cette phrase soit une phrase négative, il fallait les Grecs pour le faire ! " Un point est ce dont il n’y a aucune partie. " C’était parti pour l’odyssée de l’espace, vécue comme celle des idéalités qui transcendent le réel - qui jamais ne lui sera réductible - et qui s’appliquent si bien à sa diversité. L’idéel et le réel.

Par exemple, définir l’angle droit, non comme celui que fait la verticale avec l’horizon, le fil à plomb, mais comme celui qui comble l’égalité : lorsque deux droites se coupent, elles forment quatre angles. Voulons-les égaux. Cela se peut et cela ne se peut que d’une seule façon. Voilà l’angle droit ! Et voilà du même coup les parallèles : les perpendiculaires d’une perpendiculaire.

Pour les nombres, par contre, il ne faut pas trop compter sur les Grecs. Avant eux, heureusement, il y eut les Babyloniens. Après eux, les Égyptiens, les Chinois et les Indiens, après eux encore, les Arabes.

De la place vide à la quantité nulle

Long chemin que celui emprunté par les numérations écrites, au cours duquel se fit un double passage, celui de la quantité au nombre, celui des nombres aux chiffres, puis l’invention de la notion de base, jusqu’à cet indépassable : la numération de position à l’aide de chiffres indépendants les uns des autres et avec un zéro.

Numération de position inventée par les Babyloniens il y a 38 siècles : la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans l’écriture du nombre qui a charge de le nommer. La valeur qui dépend de la position, des signes qui ont des valeurs qui varient, il y a 38 siècles !

Triple invention, celle du signe zéro, du chiffre zéro, du nombre zéro. La première, en désignant la place vide dans une colonne par un signe, osait signifier une absence par une présence. La seconde, intégrant le signe, en fit un chiffre comme les autres, un chiffre qui permit l’écriture du merveilleux 1001, deux zéro de suite dans le corps même du nombre. Puis, apothéose, la création du zéro-nombre. À la question : " combien y en a-t-il ? ", il permit de passer de " IL N’Y a rien. " à " IL Y a rien. ", de passer de la négative à l’affirmative. Le zéro, " ce rien qui peut tout. ", inventé par les Indiens au Ve siècle nous donne le droit de pouvoir dire : " 2 – 2 égale zéro. "

Chiffres indiens qui permettent rien moins que d’effectuer un calcul par l’écrit et l’écrit seul. Opérer non plus avec des objets matériels : cailloux, boules ou jetons, mais avec des mots. Calculer avec les noms des nombres eux-mêmes, il est difficile d’imaginer quelle révolution ce fut ! Puis, ironie de l’histoire, voilà qu’avec l’invasion des calculettes, on est rejeté huit cents ans en arrière avec les hommes du Moyen-Âge qui ne savaient calculer qu’avec des dispositifs matériels.

Et se mit à croître, l’empire des nombres, entiers, rationnels, négatifs, réels, imaginaires, quaternions, irrationnels, transcendants, non standards, hyper réels, etc.

Tous les zéros sont égaux, toutes les infinités ne le sont pas. Pour porter le zéro sur les fonts baptismaux, une kyrielle d’anonymes, Babyloniens, Chinois, Indiens, Mayas. Pour accoucher sans douleur des infinis, un seul homme, Georg Cantor. Inventeur tout à la fois des infinis - il nous permit de mesurer " la force prodigieuse du continu " - et des ensembles : multiplicité considérée comme une unité.

Un seul zéro, une infinité d’infinis, mais pas " l’ensemble de tous les ensembles ".

La Main des Maths

Et puis cette formule ? La plus belle, dit-on, des mathématiques, découverte par Léonhard Euler. Belle parce qu’elle met en scène dans une même figure les cinq nombres les plus importants des mathématiques : 1, 0, p , i, e. Cinq, venus de tous les horizons, de toutes les périodes de l’histoire, cinq, dont rien ne laissait présager qu’ils puissent être réunis dans ce véritable nœud de vipère algébrique. Cinq, comme les doigts de la main, inextricablement liés pour exprimer la stupéfiante puissance opératoire des structures mathématiques. Cette formule, comment ne pas la voir comme LA MAIN DES MATHS !