Anecdote |
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Carte blanche à Michel Mendès France, Professeur émérite, Université Bordeaux 1 n°15, mai 2001 |
Il y a une vingtaine d’années, Mike Keane célèbre mathématicien américain, me montrait une très jolie démonstration de l’irrationalité de qui, bien différente de l’approche classique, ne fait pas appel à la divisibilité. Plusieurs années plus tard nos chemins se croisèrent à nouveau au Chili. « Tu sais, me dit-il, ta démonstration de l’irrationalité de me fascine ! Où l’as-tu trouvée ? ». Confirmation que les mathématiciens sont bien souvent distraits (et si c’était moi qui étais dans la lune ???).
Voici donc cette preuve.
On observe d’abord que 1 < < 2.
Supposant que est rationnel, il existe un entier q ³ 1 minimal tel que q î N.
Considérons alors le nombre q’ = q - q < q.
On remarque que q' = 2q - q î N, ce qui est absurde puisque 0 < q ’ < q.
CQFD