Des TICE au lycée pour quoi faire ?
Réciproques, Pédagogie
n°17, mars 2002

Un outil pour s’approprier un nouveau concept

Méthode d’Euler

Etant donnés une fonction numérique f définie sur un intervalle I, x0 un réel de I et y0 un réel, on cherche une fonction F définie et dérivable sur I telle que : F’(x) = f(x)  et F(x0)=y0.

Dans le cas où une primitive de f  sur I n'est pas connue, la méthode d’Euler consiste à obtenir une courbe approchée de la courbe représentative de F.

La définition du nombre dérivé permet d’écrire :
pour h proche de 0 : F(x0 + h) » F(x0) + h F’(x0)
 i.e. F(x0 + h) » y0) + h f(x0)

On pose : x1 = x0 + h et y1 = y0 + h f(x0) alors y1 » F(x1).
On construit ainsi deux suites : xn = x0 + n h et yn = yn-1 + h f(xn-1) avec yn » F(xn).

Lorsque h est petit, les points Mn (xn ; yn) ainsi définis sont « proches » de la courbe représentative de F  avec la condition initiale :  F(x0)=y0.

Dans le prochain programme de terminale S, la fonction exponentielle sera introduite par cette méthode : recherche d’une fonction F vérifiant, pour tout x réel F'(x) = F(x) et F(0) = 1. On obtient y0 = 1 et yn+1 = yn(1 + h).

Après un travail au cours duquel les élèves construisent point par point une représentation approchée de celle de F pour un pas h convenable, l'utilisation d'une calculatrice ou d'un  tableur permet au professeur de tracer devant la classe d'autres courbes avec des pas de plus en plus petits.

f(x) = exp(x)

 

Un outil pour expérimenter et conjecturer

Recherche de lieu de points

Dans le plan, soient O et F deux points, (C) un cercle de centre O et M un point de (C).
Quel est le lieu du projeté orthogonal H  de O sur la droite (FM) quand M  décrit (C) ?

Un logiciel de géométrie facilite le travail d'analyse. La mobilité du point F permet la construction de nombreuses figures. Le lieu semble être un cercle. Mais lequel ? Obtient-on toujours un cercle en déplaçant F ?

On peut conjecturer que H décrit un cercle quand F est à l'intérieur de (C) ou sur (C), mais seulement un arc de cercle quand F est à l'extérieur, et que le point O appartient au lieu. On démontre que le lieu cherché est porté par le cercle de diamètre [FO].

Le CDRom joint au document d’accompagnement du programme de Première contient des animations sur la méthode d’Euler et sur les recherches de lieux de points.