Coccinelles et pucerons

, Interdisciplinarité au lycée n°18, mai 2002

Une activité maths-svt au lycée

Deux élèves de 1^ère S du lycée Borda de Dax travaillant en TPE sur la croissance des insectes ont trouvé un site de vente de coccinelles. Outre des renseignements sur le mode de vie de ces insectes, ce site fournit un jeu de simulation électronique dont le but est de protéger des arbustes de l’invasion de pucerons, grâce aux coccinelles. Ce jeu consiste à introduire, successivement et à son gré, trois pontes de coccinelles pour limiter le développement de l’envahisseur.

Les élèves ne se sont pas contentés d'utiliser le jeu, ils se sont aussi interrogés sur sa fabrication. L’auteur du site leur indiqua que son algorithme s’inspirait d’une modélisation dite de Volterra-Lokta, modèle mathématique qui étudie l’évolution de deux populations « interactives » en milieu fermé. Il fait intervenir le système différentiel suivant :

où a, b, c et d sont des constantes positives, x et y représentant les effectifs des populations.

La solution de ce système (hors de portée à  ce niveau)  est une courbe fermée que l’on peut approcher par la méthode d’Euler (au programme de 1^ère S). Les élèves ont obtenu assez simplement deux suites x et y définies par:

et une condition initiale (x₀ , y₀).

En utilisant un tableur et en donnant aux nombres a, b, c et d des valeurs particulières, ils ont construit des courbes comme celle-ci (a = b = c = d = 1, h = 0,01). Elles leur ont permis, après observation et interprétation, d'enrichir la partie du TPE consacrée à la biologie