Calcul littéral au collège

, Pédagogie
n°19, décembre 2002

Calcul littéral : en rupture avec le calcul numérique

— Les lettres introduites ont des statuts différents qui ne sont pas toujours explicités. Il est important de les faire régulièrement percevoir aux élèves pour que le travail prenne du sens : la variable (qui peut prendre plusieurs valeurs distinctes), l’inconnue (quantité cherchée pour résoudre un problème) et l’indéterminée (qui sera fixée par la suite dans les exemples) ;

— Le symbole égal change lui aussi de statut et il nous faut alors différencier ce qui relève de l’égalité (ce qui est vrai ou faux), de l’équation (ce qui peut être vrai pour certaines valeurs) et de l’identité (ce qui est toujours vrai) ;

— Enfin la confusion entre somme et produit induit des erreurs dans la résolution d’équations dès la classe de cinquième (différence entre a + x = b et ax = b) et dans la reconnaissance des formes développées et factorisées. Cette distinction fondamentale doit être appréhendée régulièrement au collège.

Le classement d’expressions en somme et produit lors du travail sur les priorités opératoires et les programmes de calcul est fondamental mais peut s’avérer insuffisant.

Un exercice de remédiation peut consister à présenter les écritures littérales sous forme d’arbres à compléter en connaissant les suites d’opérations ou à fabriquer en partant de l’expression (voir exemple ci-contre).

Le calcul littéral pour démontrer

L’activité ci-contre permet d’introduire les lettres comme outil indispensable pour établir une propriété, suite à une conjecture basée sur des cas particuliers.

Les transformations d’écritures, telles que réductions et factorisations, apparaissent comme une véritable nécessité pour démontrer la conjecture proposée.

Voici une liste de six nombres :

2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21.

Les deux premiers sont choisis au hasard et les suivants sont obtenus en ajoutant les deux qui précèdent.

La somme de ces six nombres est notée S.

a. Vérifier que cette somme S est égale à 4 fois le 5^e nombre de la liste.

b. Tester cette affirmation avec d’autres nombres de départ.

c. Prouver que cette affirmation est toujours vraie, quels que soient les nombres choisis au départ.

Le calcul littéral pour résoudre des problèmes

Le type d'exercice ci-contre permet d'insister sur l'étape de modélisation.

Dans un premier temps l'élève doit s'approprier le texte et repérer ce qui est variable et ce qui est fixe. Puis par tâtonnements il prend conscience de l'existence d'une solution et en donne un encadrement. Cependant les calculs devenant vite fastidieux, le passage au calcul littéral est nécessaire.

La détermination d'une expression en fonction de x apparaît comme une généralisation du travail arithmétique précédent. Différentes expressions littérales peuvent être proposées selon le découpage de la surface à mesurer. Les transformations d'écritures permettent de comparer ces formes et d'identifier celles qui sont erronées.

Dans le problème 1, les élèves sont sensibles à la nécessité de la réduction de l'expression initiale pour obtenir une équation qu'ils savent résoudre. La rapidité de la résolution et l'obtention d'une valeur exacte de la solution illustrent alors toute la puissance de l'outil algébrique.

Le problème 2 permet aux élèves de prendre conscience que certaines équations ne peuvent pas être résolues au collège. La solution peut être néanmoins approchée très précisément. à l’aide d’un tableur. Les élèves perçoivent alors l'avantage d'avoir effectué un calcul « une fois pour toutes », et d'utiliser la forme réduite pour les calculs successifs

Problème 1

Un propriétaire décide de transformer sa terrasse rectangulaire de 6 m sur 10 m.

Il agrandit la longueur et la largeur. Puis il construit sur cette terrasse une véranda à base carrée.

Il décide que la mesure du côté de la véranda sera aussi la mesure à ajouter à la longueur et la largeur de son ancienne terrasse.

Peut-il obtenir une nouvelle terrasse de 150 m² ? Justifier la réponse.

Problème 2

Le propriétaire d'une piscine rectangulaire de 6 m sur 10m désire réaliser une bordure en carrelage de largeur constante.

Peut-il obtenir une bordure de 110 m² ayant une largeur inférieure à 5 m ?

Si oui, pour quelle(s) largeur(s) ?

Calcul littéral : au programme

6^e

Appliquer une formule littérale (à chaque usage, les lettres sont remplacées par des valeurs numériques).

Initiation aux équations (lettre non nécessaire).

Formulaire pour périmètres et aires (avec des lettres).

5^e

Conventions d’écriture (3x pour 3 ´ x …).

Utilisation des lettres pour la distributivité (développement et factorisation).

Tester si une égalité est vraie pour des valeurs numériques données.

Équations simples (introduction d’une lettre pour l’inconnue).

Formulaire pour aires et volumes.

4^e

Calcul littéral : développement et réduction (double distributivité) excluant toute virtuosité. Donner du sens.

Utilisation d’expressions littérales pour des calculs numériques.

Égalité v = d/t.

Mise en équation et résolution de problèmes.

3^e

Égalités remarquables.

Développement.

Factorisation en cours d’acquisition.

Équations et inéquations du 1er degré ou s’y ramenant.

Mise en équation et résolution de problèmes.

Systèmes d’équations 2´2 ayant une solution.