Comment, au cours des deux derniers siècles, l'enseignement des mathématiques et ses relations avec les autres disciplines se sont-ils déclinés différemment suivant les divers types de formation ?
Cet enseignement a été confronté, sur toute cette période, aux tensions provoquées par les besoins des sciences et de la société, dont celles entre enseignement de culture/enseignement utile, enseignement théorique/enseignement pratique.

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L’enseignement des mathématiques dans ses liens à d’autres disciplines, une perspective historique

Par Hélène Gispert et Nicole Hulin

Une première version de ce travail a fait l’objet d’une communication à une séance de travail de l’Académie des sciences en mai 2000.

Tout au long du XIX^e siècle l’enseignement secondaire est non gratuit, accessible à moins de 5 % des enfants, et réservé aux garçons. La loi Sée de 1880 créé l’enseignement secondaire féminin, différent de son homologue masculin, qui ne mène pas au baccalauréat et donc ne donne pas accès aux Facultés. L’assimilation des deux enseignements est effectuée par la loi Bérard de 1924.

Trois étapes essentielles sont à distinguer :

1852 : réforme de la « bifurcation », réforme novatrice qui établit deux filières à partir de la 3^e (l’une littéraire, l’autre scientifique) et qui instaure l’indépendance du baccalauréat ès sciences par rapport au baccalauréat ès lettres (ceci constituant un acquis définitif)[1].

Avec cette réforme un double but est poursuivi : réserver aux sciences une place plus importante (compte tenu de leur développement), mais aussi constituer un enseignement plus approprié aux besoins de la société productive. L’enseignement est alors marqué par une conception utilitaire et tourné vers les applications. Jean-Baptiste Dumas, l’un des protagonistes de la réforme, explique qu’il convient de « réduire la géométrie aux propositions vraiment usuelles, l’algèbre à ce qu’il faut pour étudier les éléments de physique et de mécanique »[2] . En physique on souligne les aspects pratiques ; quant à l’enseignement de mathématiques, il est soigneusement circonscrit même pour les élèves de la filière scientifique, ainsi les instructions indiquent :

« L’algèbre n’est pas, comme l’arithmétique, d’une absolue nécessité. Ce n’est même qu’avec une grande réserve qu’on doit l’introduire dans l’enseignement de la jeunesse [...] »[3]

Un bilan négatif de la réforme est dressé tant pour les mathématiques que pour la physique : en voulant « simplifier les démonstrations mathématiques » et « viser en physique aux applications » on nuit au « développement du véritable esprit scientifique » [4].

Un changement de cap est opéré dès les années 1860, sous le ministère Duruy : suppression de la « bifurcation » (1864) et réorganisation de l’enseignement classique ; institution en parallèle d’un enseignement secondaire professionnel (1863) qui devient l’enseignement secondaire spécial (1865), puis évolue dans les années 1880 et ensuite constitue l’enseignement secondaire moderne (1891). Lorsqu’il entreprend de réorganiser l’enseignement classique Victor Duruy [5]  insiste sur la nécessité d’un enseignement des sciences organisé suivant un « ordre logique » avec « les mathématiques à la base, les sciences physiques au sommet », car « sans mathématiques, on ne peut faire qu’une physique de mauvais aloi », les mathématiques étant « l’instrument avec lequel on acquiert toute connaissance scientifique ». Présentant les modifications apportées par ses soins, Victor Duruy juge la méthode préconisée dans le plan d’études de 1852 de suivre le Traité de Clairaut ; il la qualifie de « promenade géométrique » avec cette possibilité de « supprimer les démonstrations » ; il juge « périlleux [..] d’habituer les élèves à se contenter de l’à peu près en matière géométrique » et il préfère initier les élèves à « l’admirable enchaînement des propositions d’Euclide ».

1902 : une réforme majeure est opérée dans l’enseignement secondaire, l’unifiant et le restructurant. Deux cycles sont alors distingués : le premier cycle, allant jusqu’à la 3e incluse et comportant deux filières dont une sans latin ; le second cycle comprenant quatre sections, deux à orientation littéraire et deux à orientation scientifique dont la section moderne.

La réforme vise à former l’homme et le citoyen. Désormais, compte tenu de leurs considérables progrès, les sciences doivent faire partie de la culture ; l’objectif affirmé est de constituer des « humanités scientifiques », ce qui implique de réviser l’esprit et les méthodes de l’enseignement des sciences. L’accroissement notable de la place accordée aux sciences, et en particulier à la physique, s’accompagne d’un discours sur l’apport spécifique des diverses disciplines tout en soulignant l’unité de la science. [6]

Ce souci de « mettre en évidence l’unité de la science » apparaît dans les programmes. Ainsi, la « notion expérimentale de travail » est introduite dans le cours de physique de seconde et le cours de mathématiques des terminales scientifiques traite le sujet d’une manière générale tout en incluant l’unité de travail et l’évaluation graphique. Pour l’étude des lois physiques on recommande l’usage de la représentation graphique dès la seconde pour familiariser les élèves avec les idées de fonction et de continuité. Dans le cours de mathématiques, pour l’étude des fonctions on trace des graphes de courbes et, en classe de philosophie, on indique une référence concrète (courbe de température ou de poids pour illustrer la variation d’un phénomène dépendant d’une seule variable). Dans les conférences de 1904, qui présentent aux enseignants des lycées la réforme en mathématiques et en physique, Henri Poincaré recommande qu’une « définition soit préparée par des exemples concrets », voire « par des expériences » et Émile Borel demande la création de laboratoires de mathématiques. [7] D’autres points de convergence apparaissent entre physique et mathématiques, à propos du calcul numérique et de la théorie des erreurs ou encore de la mécanique. Une circulaire de 1909 va insister sur l’intérêt d’une collaboration des professeurs de physique et de mathématiques :

« Il serait bon [..] que les professeurs de mathématiques et les professeurs de physique d’un même établissement se prêtassent un mutuel appui. Le professeur de physique doit, à chaque instant, savoir à quel degré d’avancement se trouve l’éducation mathématique de ses élèves et réciproquement, le professeur de mathématiques a tout intérêt à ne pas ignorer quels exemples il peut choisir, dans les connaissances expérimentales déjà acquises, pour illustrer les théories qu’il a expliquées d’une façon abstraite. »  [8]

Mais on ne tarde pas à dénoncer la surcharge des programmes. Ainsi le sociologue Georges Blondel explique :

« On a cru faire merveille en surchargeant les programmes, en exigeant la connaissance d’une masse de faits positifs [...] Mais on s’est trompé en s’imaginant qu’un accumulation de données scientifiques aurait à elle seule une vertu éducatrice. » [9]

Aussi certains se prononcent « en faveur d’un enseignement scientifique qui ne chercherait pas à être une encyclopédie élémentaire, mais se bornerait dans chaque science à quelques questions typiques étudiées à fond », ce qui permettrait de faire coïncider un allégement de la matière des programmes avec un sérieux renforcement de l’éducation scientifique générale »[10]

D’autres avaient déploré le « désarmement scientifique » infligé aux élèves des sections littéraires. En 1925 le régime de l’égalité scientifique est établi : « Depuis la 6^e jusqu’à la 1^re inclusivement l’étude des sciences mathématiques et physiques recevra le même développement pour tous les élèves. »

La réforme Carcopino de 1941 abolit cette égalité scientifique et revient à un régime voisin de celui de 1902. Prenant acte du changement le président de l’Union des physiciens, F. Ollive, fait l’éloge des programmes de 1902 : « On n’essayait pas en ce temps-là de donner des teintures de tout à des jeunes gens qui ne s’intéressaient à rien ». [11]

Les programmes de 1902 et la méthode d’enseignement de la physique vont laisser une empreinte durable, jusque dans les années 1970 où sont élaborés les programmes Lagarrigue.

Les années 1960-1970 : la réforme des mathématiques modernes puis la réforme Lagarrigue. [12] Du côté de la physique, on dénonce alors la vétusté des programmes de physique et le « décalage croissant vis à vis des mathématiques, déjà élaborées [...] enseignées au même moment aux mêmes élèves ». [13] Mais les physiciens reprochent au nouvel enseignement de mathématiques de ne plus fournir aux autres disciplines les outils mathématiques (ou de « calcul ») qui leur sont nécessaires. La méconnaissance de la géométrie complique la tâche du physicien pour les considérations de symétrie dans son recours aux « superlois », liées au traitement mathématique qui désormais structure la discipline. Ainsi la coordination physique-mathématique se complique car, à côté du décalage dans le temps entre l’enseignement de mathématiques et les besoins de l’enseignant de physique, il existe un décalage entre les « mathématiques modernes enseignées » et les « mathématiques applicables » utilisées dans l’enseignement de la physique. Un groupe sera créé, à la charnière de la Commission Lagarrigue et de la Commission Lichnérowicz, pour étudier les relations entre les deux enseignements. Dans les avant-programmes de physique de seconde préparés en 1972, on recommande, comme en 1902, le recours à la représentation graphique ; en mécanique on exploite les graphes obtenus à partir du repérage des mobiles pour la définition et la mesure de la vitesse : « Ceci, dit-on, constitue d’ailleurs, en accord avec les mathématiciens, une approche de la dérivée en un point » [14].

Ces trois étapes essentielles de l’enseignement des sciences au lycée ayant été précisées, revenons tout d’abord sur un de ces moments, l’institution de deux filières secondaires à la suite de la remise en cause de la bifurcation dans les années 1860 :

q       premièrement, le lycée classique, dont on restaure l’excellence mise à mal par l’esprit utilitariste de la bifurcation et qui a pour but, comme l’indique Victor Duruy, « de préparer des hommes qui fassent des plus hautes spéculations de la science ou des lettres leur étude habituelle  »,  [15]

q       et, deuxièmement, l’enseignement secondaire spécial qui prépare, lui, « des industriels, des négociants, des agriculteurs  ».  [16]

Nous avons vu les conceptions de Victor Duruy pour l’enseignement des sciences dans le lycée classique. Elles sont tout  autre pour le secondaire spécial qui doit délivrer « des connaissances immédiatement utiles ». [17] L’enseignement des mathématiques est lié avant tout aux domaines du commerce, des arts et de l’industrie. Il en est ainsi, pour la quatrième année d’enseignement, de l’algèbre et des logarithmes appliqués aux questions d’intérêt et d’épargne, de l’étude des courbes usuelles avec, par exemple, les applications industrielles de l’ellipse, le raccordement des canaux, les ponts suspendus), de la géométrie dans l’espace et de la géométrie descriptive.

Il n’y a pas, par contre, de lien avec l’enseignement de la mécanique (mécanique des machines) ou de la physique. L’enseignement de cette dernière doit exclure tout recours aux équations de l’algèbre, être principalement expérimentale et liée aux besoins de l’industrie locale.

Cet enseignement, qui dans la région parisienne regroupe presque autant d’élèves que le lycée classique (tout ensemble ne fait cependant que 5 % d’une classe d’âge, je le rappelle) connaît un grand succès. Sa réussite même provoque son évolution liée à la volonté de « l’établir enfin à côté de l’enseignement classique, dans le rang auquel il a droit ».  [18] D’où, très vite, en 1882 puis 1891, une refonte des programmes des mathématiques dont l’enseignement  prend de la distance vis à vis des applications qui n’y sont presque plus mentionnées. Il n’y a toujours pas de lien avec l’enseignement de la physique qui, d’une part, demeure expérimental, et d’autre part, doit contribuer à la culture de l’esprit en intégrant « l’histoire de la science », développant ainsi un lien particulier avec les leçons des professeurs de lettres, d’histoire ou de philosophie.

Il existe cependant, jusqu’à l’après seconde guerre mondiale, un enseignement explicitement lié aux applications pratique et usuelles dans ses buts mêmes, l’enseignement primaire supérieur, créé en 1833 par Guizot, qui est gratuit, et fait suite au primaire élémentaire pour les enfants du peuple qui continuent leur scolarité après le certificat d’études. Quel y est le principe de l’enseignement mathématique ? Il doit être, déclare le mathématicien Carlo Bourlet au début du siècle, « à la fois utilitaire et éducatif. On a trop souvent le tort de croire, poursuit-il, que ces deux tendances sont contradictoires et de n’accorder de valeur éducative qu’aux études abstraites ne donnant lieu à aucune application pratique réelle. C’est une grave erreur ».  [19]

A l’occasion de la réforme de l’enseignement secondaire de 1902, d’autres mathématiciens, dont Emile Borel, vont défendre un point de vue semblable pour l’enseignement secondaire. Posant la question :

« Ne risque t-on pas de diminuer la valeur éducative de l’enseignement secondaire en y rendant plus pratique et moins théorique l’enseignement des mathématiques ? »,  [20]

il défend l’idée que cet enseignement théorique ne sera que mieux compris s’il est accompagné d’ exercices pratiques.

Le souci des applications, des liens des mathématiques aux autres disciplines, se retrouve chez les promoteurs de la réforme des mathématiques modernes. C’est entre autre au nom des exigences de l’industrie et de l’économie que l’OCDE (organisation européenne de coopération économique) lance à partir de la fin des années 1950 une réflexion internationale sur la réforme de l’enseignement des mathématiques, la nécessité d’introduire  les applications dans la modernisation de son enseignement (par exemple en statistiques et en probabilités) et « invite l’ensemble des pays à constituer des séries systématiques d’exemples d’applications des mathématiques adaptées à l’enseignement secondaire », ce travail ne devant pas être « fait une fois pour toute, mais constituer l’objet d’une recherche permanente ».[21] 

Mais il y a un autre enjeu, une certaine ambiguïté, dans l’idée même d’applications à cette période.  Les déclarations de la commission Lichnérowicz d’une part, des sociétés savantes de physique et de chimie d’autre part, en sont une illustration. Dans sa déclaration liminaire  la commission Lichnérowicz déclare :

« Certains pourraient dire : les mathématiques qui nous importent sont les mathématiques dites classiques qui suffisent bien aux applications. Il n’en est rien ; les mathématiques contemporaines sont infiniment plus applicables, plus riches d’applications, dans le domaine des sciences exactes comme dans celui des sciences sociales, que la démarche dite classique. »[22]

Orientation dont la concrétisation dans les programmes d’enseignement des mathématiques dites modernes provoque la réaction des physiciens et des chimistes au nom de l’envahissement des mathématiques délibérément les plus abstraites qui ont pour dernier souci de se référer à quelque problème concret et de fournir aux autres disciplines les outils mathématiques qui leur sont nécessaires.  [23]

Cette histoire sur deux siècles montre que l’enseignement des mathématiques, ses relations avec les autres disciplines, se sont déclinés différemment suivant les divers types de formation. Il a ainsi été confronté, sur toute cette période, aux tensions provoquées par les besoins des sciences et de la société  dont celles entre enseignement de culture–enseignement utile, enseignement théorique-enseignement pratique.

Bibliographie sur l’histoire de l’enseignement scientifique

Belhoste (Bruno), Les Sciences dans l’enseignement secondaire français. Textes officiels 1789-1914, Paris, INRP et Economica, 1995.

Belhoste (Bruno), Gispert (Hélène), Hulin (Nicole), (sous la direction de), Les Sciences au lycée. Un siècle de réformes des mathématiques et de la physique en France et à l’étranger, Paris, Vuibert et INRP, 1996.

Hulin (Nicole), (sous la direction de), Physique et « humanités scientifiques ». Autour de la réforme de l’enseignement de 1902- Études et documents, Villeneuve d’Ascq, Presse universitaires du Septentrion, septembre 2000.

Hulin-Jung (Nicole), L’Organisation de l’enseignement des sciences. La voie ouverte par le Second Empire, Paris, Comité des travaux historiques et scientifiques, 1989.