Voici une série d’exercices  de genres différents qui  vous permettront  de vous entraîner de façon ludique aux olympiades. N’hésitez pas à m’écrire si vous pensez avoir trouvé ou bien si vous bloquez sur une question.

Voir les corrigés de ces exercices d'entraînement

Exercice 1 - Les savons -

Un supermarché expose un certain savon en empilant les boîtes en une pyramide comportant dix étages. Chaque étage a une forme rectangulaire et possède une boîte de moins tant dans la longueur que dans la largeur que l’étage au dessous.

Si le dernier étage, de rang p, est composé de m rangées de n boîtes chacune, exprimer, en fonction de m, n, p, le nombre total de boîtes de la pyramide. En déduire ce nombre pour mn = 6 et p = 20.

Exercice 2 - L’antenne -

Un radio amateur place un mât d’antenne sur le toit rectangulaire de son garage à l’endroit où il fournit la meilleure réception. Il fixe alors le mât par des câbles en fil de der qui vont de la cime jusqu’aux quatre coins du toit. Les longueurs des câbles opposés sont 7 mètres et 4 mètres et la longueur de l’un des deux autres est 1 mètre. Quelle est la longueur du dernier câble ?

Exercice 3 - Quadrillage -

Sur un quadrillage, est il possible de construire un triangle équilatéral dont les sommets sont des intersections de quadrillage ?

Même question avec un hexagone régulier.

Plus dur : même question avec un pentagone régulier.

Exercice 4 - Géométrie -

ABCD est un quadrilatère convexe tel que la droite (CD) soit tangente au cercle de diamètre [AB]. Démontrer que (AB) est tangente au cercle de diamètre [CD] si et seulement si (BC) est parallèle à (AD).

Exercice 5 - Carte -

On trace sur une feuille de papier autant de cercles qu’on veut avec n’importe quel centre et n’importe quel rayon.

Une telle  carte peut elle être coloriée avec deux couleurs de telle sorte que deux régions ayant un bord commun n’aient jamais la même couleur ?

Exercice 6 - Géométrie -

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Soit M un point de [AC], on pose AM = x ; l’objectif est de déterminer x de façon que :

MB² = AC * AB .

1) Étudier le cas AC/AB = 2 puis le cas AC/AB = 1.

2)Étudier le cas général AC/AB = k.

Exercice 7 - Sur une sphère -

Un astronaute se pose sur l’équateur d’une astéroïde sphérique. Il se déplace de 100 km en direction du Nord sans atteindre le pôle, puis à l’Est de 100 km et enfin de 100 km en direction du Sud. Il ne passe pas deux fois par le même point et découvre qu’il est à 200 km à l’Est de son point de départ.

De combien de kilomètres doit il se déplacer en direction de l’Est pour atteindre son point de départ ?

Exercice 8 - Pavage -

Montrer qu’il n’existe que trois valeurs de n pour lesquelles on peut paver le plan avec des polygones réguliers égaux ayant le même nombre n de côtés.

Exercice 9 - Sphères en contact avec d’autres sphères -

Quatre sphères identiques de rayon 10 cm reposent sur une table horizontale de façon que les centres des sphères soient les sommets d’un carré de côté 20 cm. Une cinquième sphère de rayon 10 cm est placée sur elles et effleure chacune des sphères sans les déranger.

A quelle distance au-dessus de la table est situé le centre de la cinquième sphère ?

Exercice 10 - Géométrie -

ABCD est un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle (K) et dont les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires et sécantes en un point I. Montrer que la perpendiculaire à (BC) passant par I coupe le segment [AD] en un point J qui est son milieu.

Exercice 11 - Sept pièces de dix francs (difficile) -

Six pièces de monnaie de dix francs sont placées sur une table. Elles forment une chaîne fermée. Une septième pièce de dix francs roule sur le bord extérieur de cette chaîne. Elle roule sans glisser et touche successivement toutes les pièces de la chaîne.

Combien de rotations sur elle-même fera cette septième pièce en revenant à sa place initiale ?