Exercices de préparation aux Olympiades (deuxième série)

Exercices proposés par
A.Ouardini (collège Val de Saye - St Yzan de Soudiac, Gironde)
et posés lors d'olympiades étrangères
Bordeaux, le 29 janvier 2004

 

 

Voici une deuxième série de préparation aux Olympiades de mathématiques, avec des indications de résolution.

 

Voir les indications.

 

Exercice 1

Soit trois cercles de même rayon ayant un point commun O et qui sont tous trois intérieurs à un triangle ABC de telle sorte que chaque cercle est tangent à deux des côtés du triangle.

Démontrer que les centres des cercles inscrit et circonscrit du triangle ABC et le point O sont alignés. (Olympiades Internationales de Mathématiques 1981)

Exercice 2

A et B sont deux points tels que AB = 1.

Déterminer tous les points P de la droite (AB) tels que :

(Olympiades hongroises)

Exercice 3

(Olympiades roumaines)

Exercice 4

Déterminer toutes les fonctions numériques† f† définies sur R vérifiant :

(Olympiades de Singapour)

Exercice 5

Soient x, y et z trois entiers naturels non nuls, distincts deux à deux.

 

Dans quels cas líégalité a-t-elle lieu ? (Proposé par A. Ouardini)