Exercices de préparation aux Olympiades (deuxième série)

Exercices proposés par
A.Ouardini (collège Val de Saye - St Yzan de Soudiac, Gironde)
et posés lors d'olympiades étrangères
Bordeaux, le 29 janvier 2004

 

Indications pour résoudre la deuxième série d'exercices de préparation aux Olympiades de mathématiques.

 

Rappel des exercices

 

Exercice 1

Désigner par O1, O2 et O3 les centres des cercles et remarquer que :

- OO1 = OO2 = OO3 donc O est le centre du cercle passant par les
trois points O1, O2 et O3.

- (AO1), (BO2) et (CO3) sont les bissectrices .

- donc le centre du cercle inscrit au triangle ABC est le centre de lhomothétie qui transforme respectivement O1, O2, O3 en A, B, C.

Exercice 2

Poser x = AP ; le problème se ramène à maximiser une fonction réelle.

Exercice 3

En appliquant le théorème dAl Kashi, il vient : a = b + c - bc et on remarque que

Exercice 4

On obtient des résultats en posant x + y = t et x y = t.

Exercice 5